Антисиметричне відношення: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
мНемає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
{{Властивості бінарних відношень}} |
{{Властивості бінарних відношень}} |
||
В [[математика|математиці]], [[бінарне відношення]] ''R'' на [[множина|множині]] ''X'' є '''антисиметричним''', коли для будь-яких ''a'' та ''b'' з ''X'', |
В [[математика|математиці]], [[бінарне відношення]] ''R'' на [[множина|множині]] ''X'' є '''антисиметричним''', коли для будь-яких ''a'' та ''b'' з ''X'', таких що ''a'' відноситься до ''b'', і ''a''<math> \ne </math>''b'', випливає що ''b'' не відноситься до ''a''. |
||
⚫ | |||
Формально: |
|||
Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. |
|||
⚫ | |||
Якщо додатково накласти умову рефлексивності на антисиметричне відношення, то матимемо: |
|||
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ |
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math> |
||
Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел ''x'' і ''y'' обидві нерівності ''x'' ≤ ''y'' і ''y'' ≤ ''x'' виконуються, то ''x'' і ''y'' мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини ''A'' і ''B'', якщо кожен елемент, що знаходиться в ''A'' також знаходиться в ''B'' і кожен елемент ''B'' також в ''A'', то ''A'' і ''B'' повинні містити однакові елементи, тоді: |
Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел ''x'' і ''y'' обидві нерівності ''x'' ≤ ''y'' і ''y'' ≤ ''x'' виконуються, то ''x'' і ''y'' мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини ''A'' і ''B'', якщо кожен елемент, що знаходиться в ''A'' також знаходиться в ''B'' і кожен елемент ''B'' також в ''A'', то ''A'' і ''B'' повинні містити однакові елементи, тоді: |
Версія за 15:30, 21 жовтня 2019
В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, таких що a відноситься до b, і ab, випливає що b не відноситься до a.
Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. Якщо додатково накласти умову рефлексивності на антисиметричне відношення, то матимемо:
Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:
Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.
Приклади
- Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже a ≤ b та b ≤ a одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.
- Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
- Антисиметричним відношенням на підмножині цілих чисел буде відношення ділення. Якщо, a ділить b та b діліть a, то a = b.
Властивості
Антисиметричність не є оберненою до симетричності.
Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» (" ").
Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:
Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).
Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» (" ").