Теорема Барбашина — Красовського: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Виправлено джерел: 2; позначено як недійсні: 0. #IABot (v2.0beta15) |
Ɪ (обговорення | внесок) м ɪ перейменував сторінку з Теорема Барбашина-Красовського на Теорема Барбашина — Красовського |
(Немає відмінностей)
|
Версія за 02:57, 17 листопада 2019
В теорії звичайних диференціальних рівнянь теорема Барбашина-Красовського (також принцип інваріантності ЛаСаля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.
Постановка
Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .
Теорема Барбашина-Красовського
Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
Принцип інваріантності ЛаСаля
Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє
- коли ,
- повсюди,
- з тим як .
Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
Оригінальні статті
- (англ.) LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (Загальне твердження)
- (рос.) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952. (Окремий випадок)
- (рос.) Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. (Загальне твердження)
Посилання
- (укр.) Самойленко, А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах, Вища школа, Київ, 1994.
- (укр.) М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості.
Див. також
Примітки
- ↑ М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості [Архівовано 4 березень 2016 у Wayback Machine.], §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова. (укр.)
- ↑ Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения [Архівовано 19 листопад 2015 у Wayback Machine.], 1959. (рос.)
- ↑ LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |