Область цілісності

Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому $0\not =1$ і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова $0\not =1$ виключає з розгляду тривіальне кільце $\{0\}$.

Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал $\{0\}$ є простим.

Приклади

• Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$.
• Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
• Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце $\mathbb {Z} [x]$ многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце $\mathbb {R} [x,y]$ многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
• Множина дійсних чисел виду $a+b{\sqrt {2}}$ є підкільцем поля $\mathbb {R}$, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду $a+bi$, де $a$ і $b$ цілі.
• Нехай $U$ — зв'язна відкрита підмножина комплексної площини $\mathbb {C}$. Тоді кільце $H(U)$ всіх голоморфних функцій $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
• Якщо $K$ — комутативне кільце, а $I$ — ідеал в $K$, то фактор-кільце $K/I$ цілісне тоді і тільки тоді, коли $I$ — простий ідеал.
• Кільце p-адичних цілих чисел.
• Факторкільце $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа $m=xy$ (де $x$ і $y$ не є рівними $1$ чи $m$). Тоді $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ і $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$, але $xy\equiv 0{\bmod {m}}$.
• Коли ціле число $n$ є квадратом цілого числа тобто $n=m^{2}$, кільце $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)$ не є областю цілісності. У цьому випадку $x^{2}-n=(x-m)(x+m)$ у $\mathbb {Z} [x]$і образи многочленів $x-m,\ x+m$ у факторкільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
• Кільце матриць розмірності $n\times n$ над довільним ненульовим кільцем для $n\geq 2$ не є областю цілісності.
• Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції

$f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток $fg$ є нульовою функцією.

• Тензорний добуток $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ і $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ добуток яких $e_{1}e_{2}=0$.

Подільність, прості незвідні елементи

Нехай $a$ і $b$ — елементи цілісного кільця $K$. Говорять, що «$a$ ділить $b$» або «$a$ — дільник $b$» (і пишуть $a\mid b$), якщо і тільки якщо існує елемент $x\in K$ такий, що $ax=b$.

Подільність транзитивна: якщо $a$ ділить $b$ і $b$ ділить $c$, то $a$ ділить $c$. Якщо $a$ ділить $b$ і $c$, то $a$ ділить також їх суму $b+c$ і різниця $b-c$.

Для кільця $K$ з одиницею елементи $a\in K$, які ділять $1$, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи $a$ і $b$ називаються асоційованими, якщо $a$ ділить $b$ і $b$ ділить $a$. $a$ і $b$ асоційовані тоді і тільки тоді, коли $a=b*e$, де $e$ — оборотний елемент.

Ненульовий елемент $q$, що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент $p$ називається простим, якщо з того, що $p\mid ab$, слідує $p\mid a$ або $p\mid b$. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці $\mathbb {Z}$, проте враховує і негативні прості числа. Якщо $p$ — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал $(p)$ буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості

• Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
  • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
• Якщо $A$ — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над $A$ також будуть областями цілісності.
• Якщо $A$ — комутативне кільце з одиницею і $I$ — деякий ідеал $A$, то кільце $A/I$ є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал $I$ є простим.
• У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо $a\not =0$, то з рівності $ab=ac$ випливає $b=c$. Навпаки, якщо для кожного елемента $a\not =0$ рівності $ab=ac$ випливає $b=c$ то комутативне кільце є областю цілісності.
• Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
• Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
• Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
• Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
• Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
• Область цілісності $A$ є рівною перетину локалізацій $A_{\mathfrak {m}}$ по всіх максимальних ідеалах ${\mathfrak {m}}.$

Оскільки $A\subset A_{\mathfrak {m}}$для всіх максимальних ідеалів ${\mathfrak {m}}$, то також $A\subset \bigcap _{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}.$

Навпаки нехай $x\in \bigcap _{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}$але $x\not \in A.$ Множина $I=\{z\in A\colon zx\in A\}$ є власним ідеалом у $A$ (оскільки $1\not \in I$). Тому $I$ міститься у деякому максимальному ідеалі ${\mathfrak {m}}$. За умовою $x\subset A_{\mathfrak {m}},$ тобто можна записати $x=a/s,\;a\in A,s\not \in {\mathfrak {m}}.$ Але тоді $sx=a\in A$ і тому має бути $s\in I\subset {\mathfrak {m}}.$ Одержане протиріччя завершує доведення.

Варіації і узагальнення

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415