Загальна лінійна група

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку $n$ називається четвірка $\left(U_{n}(R),\cdot ,{}^{-1},I\right)$, де:

• $R$ є асоціативним кільцем з одиницею,
• $U_{n}(R)$ — оборотні матриці порядку $n$ над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо $V$ — векторний простір над полем $F$, то загальною лінійною групою лінійного простру $\operatorname {GL} (V)$ або $\operatorname {Aut} (V)$ називається група всіх автоморфізмів $V$, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень $V\to V$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність $\dim V=n$, то $\operatorname {GL} (V)$ і $\operatorname {GL} (n,K)$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів $V$. Якщо $(e_{1},\dots ,e_{n})$ — базис, і автоморфізмів $\operatorname {GL} (V)$, маємо

$Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}$

для деяких констант $a_{jk}\in K$. Матриця, відповідна $T$ має елементами $a_{jk}$.

Визначники

Матриця є оборотна над полем $F$, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, $\operatorname {GL} (n,K)$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця $R$ маємо: матриця над $R$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в $R$. Отже, $\operatorname {GL} (n,R)$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Спеціальною лінійною групою порядку $n$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку $n$ з елементами поля $K$, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається $\operatorname {SL} (n,K)$.

Примітки

• Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
• Спеціальну лінійну групу $\operatorname {SL} (n,K)$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо $K$ є скінченним полем з $q$ елементами, іноді використовується запис $\operatorname {GL} (n,q)$.

Порядок

Порядок групи $\operatorname {GL} (n,K)$

$|\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})$.

Для прикладу, порядок $\operatorname {(} GL)(3,2)$ рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи $\mathbb {(} Z)_{2}^{3}$

Аналогічні формули для $\operatorname {SL} (n,K)$:

$|\operatorname {SL} (n,K)|={1 \over q-1}\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})$.

Властивості

• Якщо n > 2, то група $\operatorname {GL} (n,K)$ не є абелевою.
• $\operatorname {SL} (n,K)$ є нормальною підгрупою $\operatorname {GL} (n,K)$.
• Нехай $K^{*}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  $\det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}$.

• $\operatorname {GL} (n,K)$ є напівпростим добутком $\operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}$

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група $\operatorname {PGL} (n,K)$ і проектні спеціальні лінійні групи $\operatorname {PSL} (n,K)$ є факторгрупами $\operatorname {GL} (n,K)$ і $\operatorname {SL} (n,K)$ відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група $\operatorname {Aff} (n,K)$ — розширення $\operatorname {GL} (n,F)$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:

$\operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n}$. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Література

• Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703