Нерівність Єнсена

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.

Дискретний випадок

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x₁, x₂,…,x_n з її області визначення та додатніх чисел a_i, справджується:

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}};$

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}.$

Позначивши $\lambda _{i}={\frac {a_{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$ отримаємо еквівалентне формулювання:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i}),$

де:

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{n}=1,$

За допомогою нерівності Єнсена в даному вигляді можна довести:

• Нерівність Коші,
• Нерівності про середнє.

Інтегральне формулювання

Для опуклої функції $\varphi \left(x\right)$ і інтегровної функції $f\left(x\right)$ нерівність Єнсена записується як

$\varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi ((b-a)f(x))\,dx.$

Більш загально, нехай (Ω, A, μ) є вимірним простором для якого загальна міра μ(Ω) є рівною 1, g є μ-інтегровною функцією із значеннями у дійсному відрізку (можливо нескінченному) I і φ є опуклою функцією із I у ℝ. Тоді:

$\varphi \left(\int _{\Omega }g~\mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,\mathrm {d} \mu ,$

де інтеграл з правої сторони може бути рівним +∞.

Імовірнісне формулювання

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — простір імовірностей, і $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — інтегровна опукла функція. Тоді

$\varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]$,

Де $\mathbb {E} [\cdot ]$ — математичне сподівання.

Більш загально теорему можна сформулювати для |умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ — під-σ-алгебра подій. Тоді

$\varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]$,

де $\mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]$ позначає умовне математичне сподівання відносно σ-алгебри ${\mathcal {G}}$.

Доведення

Дискретний випадок

Якщо $\lambda _{1}$і $\lambda _{2}$ — довільні невід'ємні дійсні числа такі, що $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1,$то, враховуючи опуклість $\varphi ,$маємо:

$\varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})\ \forall x_{1},\,x_{2}.$

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ₁, λ₂, …, λ_n є невід'ємними дійсними числами такими, що λ₁ + … + λ_n = 1, тоді

$\varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),$

для будь-яких x₁, …, x_n.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо, що воно справедливе для певного даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймні одне λ_i є строго додатнім, припустимо, що це (без втрати загальності) λ₁. За означенням опуклості:

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)=\varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+(1-\lambda _{1})\sum _{i=2}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+(1-\lambda _{1})\varphi \left(\sum _{i=2}^{n+1}\left({\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right)\right).$

Оскільки $\scriptstyle \sum _{i=2}^{n+1}\lambda _{i}/(1-\lambda _{1})\,=\,1$, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Зауваження

Якщо функція $\ f(x)$ угнута (опукла догори), то знак в нерівності змінюється на протилежний.

Див. також

• Нерівність Юнга
• Нерівність Гельдера
• Нерівність Ерміта — Адамара
• Нерівність Мінковського

Література

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М. : МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 прим. — ISBN 978-5-94057-892-5.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1962. — Т. 1. — 607 с.(рос.)