Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
м робот додав: ar:متراجحة ينسن |
||
Рядок 86: | Рядок 86: | ||
[[Категорія:Нерівності]] |
[[Категорія:Нерівності]] |
||
[[ar:متراجحة ينسن]] |
|||
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
||
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
||
[[en:Jensen's inequality]] |
[[en:Jensen's inequality]] |
||
⚫ | |||
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
||
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
||
[[ |
[[it:Disuguaglianza di Jensen]] |
||
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[pl:Nierówność Jensena]] |
[[pl:Nierówność Jensena]] |
||
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
||
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
||
⚫ | |||
[[sv:Jensens olikhet]] |
[[sv:Jensens olikhet]] |
||
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
Версія за 04:50, 30 серпня 2009
Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]
Дискретний випадок
Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,...,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:
нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.
Частковим випадком є:
Позначивши отримаємо еквівалентне формулювання:
де:
За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:
Імовірнісне формулювання
Нехай — простір імовірностей, і — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також — інтегровна опукла функція. Тоді
- ,
Де - математичне очікування.
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
Нехай додатково маємо - під-σ-алгебра подій. Тоді
- ,
де позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри .
Доведення
Дискретний випадок
Якщо λ1 і λ2 - два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість маємо
Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, ..., λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + ... + λn = 1, тоді
для будь-яких x1, ..., xn.
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно припущення індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:
Оскільки , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.
Замітки
- ↑ Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571.
{{cite journal}}
: Вказано більш, ніж один|author=
та|last=
(довідка)
Дивись також
Джерела
- Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Мир.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка) - Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка)