Нерівність Єнсена: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
TXiKiBoT (обговорення | внесок)
м робот додав: ar:متراجحة ينسن
Рядок 86: Рядок 86:
[[Категорія:Нерівності]]
[[Категорія:Нерівності]]


[[ar:متراجحة ينسن]]
[[cs:Jensenova nerovnost]]
[[cs:Jensenova nerovnost]]
[[de:Jensensche Ungleichung]]
[[de:Jensensche Ungleichung]]
[[en:Jensen's inequality]]
[[en:Jensen's inequality]]
[[fi:Jensenin epäyhtälö]]
[[fr:Inégalité de Jensen]]
[[fr:Inégalité de Jensen]]
[[ko:옌센 부등식]]
[[it:Disuguaglianza di Jensen]]
[[he:אי-שוויון ינסן]]
[[he:אי-שוויון ינסן]]
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]]
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]]
[[nl:Ongelijkheid van Jensen]]
[[it:Disuguaglianza di Jensen]]
[[ja:イェンゼンの不等式]]
[[ja:イェンゼンの不等式]]
[[ko:옌센 부등식]]
[[nl:Ongelijkheid van Jensen]]
[[pl:Nierówność Jensena]]
[[pl:Nierówność Jensena]]
[[pt:Desigualdade de Jensen]]
[[pt:Desigualdade de Jensen]]
[[ru:Неравенство Йенсена]]
[[ru:Неравенство Йенсена]]
[[fi:Jensenin epäyhtälö]]
[[sv:Jensens olikhet]]
[[sv:Jensens olikhet]]
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]]
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]]

Версія за 04:50, 30 серпня 2009

Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]

Дискретний випадок

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,...,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

Позначивши отримаємо еквівалентне формулювання:

де:


За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:


Імовірнісне формулювання

Нехай простір імовірностей, і — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також — інтегровна опукла функція. Тоді

,

Де - математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо - під-σ-алгебра подій. Тоді

,

де позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри .


Доведення

Дискретний випадок

Якщо λ1 і λ2 - два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість маємо

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, ..., λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + ... + λn = 1, тоді

для будь-яких x1, ..., xn.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно припущення індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:

Оскільки , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Замітки

  1. Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica. 30 (1): 175–193. doi:10.1007/BF02418571.  {{cite journal}}: Вказано більш, ніж один |author= та |last= (довідка)

Дивись також

Джерела

  • Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Мир.  {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка); Проігноровано невідомий параметр |city= (довідка)
  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука.  {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка); Проігноровано невідомий параметр |city= (довідка)