Формула Лейбніца для визначників: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 3: | Рядок 3: | ||
через перестановки елементів матриці. Для ''n''×''n'' матриці формула така |
через перестановки елементів матриці. Для ''n''×''n'' матриці формула така |
||
: |
:<math>\det(A) = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i, \tau(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math> |
||
де sgn — парність [[перестановка|перестановки]] у [[група перестановок|групі перестановок]] ''S''<sub>''n''</sub>, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно. |
де sgn — парність [[перестановка|перестановки]] у [[група перестановок|групі перестановок]] ''S''<sub>''n''</sub>, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно. |
Версія за 02:35, 9 липня 2021
Формула Лейбніца виражає визна́чник квадратної матриці
через перестановки елементів матриці. Для n×n матриці формула така
де sgn — парність перестановки у групі перестановок Sn, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.
Інший поширений запис цієї формули із використанням символу Леві-Чивіти і нотації Ейнштейна
може бути більш знайомим для фізиків.
Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до n факторіал — бо n! це число перестановок порядку n. Це непрактично складно для великих n. Натомість, визначник можна обчислити за O(n3) дій, використовуючи LU розклад матриці (зазвичай через метод Гауса або подібний), в цьому випадку а визначники трикутних матриць L і U є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |