Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
SieBot (обговорення | внесок) м робот додав: es:Desigualdad de Jensen |
м робот додав: bg:Неравенство на Йенсен |
||
Рядок 87: | Рядок 87: | ||
[[ar:متراجحة ينسن]] |
[[ar:متراجحة ينسن]] |
||
[[bg:Неравенство на Йенсен]] |
|||
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
||
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
Версія за 10:07, 19 листопада 2009
Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.[1]
Дискретний випадок
Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,...,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:
нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.
Частковим випадком є:
Позначивши отримаємо еквівалентне формулювання:
де:
За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:
Імовірнісне формулювання
Нехай — простір імовірностей, і — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також — інтегровна опукла функція. Тоді
- ,
Де - математичне очікування.
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
Нехай додатково маємо - під-σ-алгебра подій. Тоді
- ,
де позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри .
Доведення
Дискретний випадок
Якщо λ1 і λ2 - два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ1 + λ2 = 1 тоді враховуючи опуклість маємо
Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ1, λ2, ..., λn є додатніми дійсними числами, такими що λ1 + ... + λn = 1, тоді
для будь-яких x1, ..., xn.
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно припущення індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λi є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ1. За означенням опуклості:
Оскільки , до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.
Замітки
- ↑ Jensen, J. L. W. V. (1906). Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes. Acta Mathematica. 30 (1): 175—193. doi:10.1007/BF02418571.
{{cite journal}}
: Вказано більш, ніж один|author=
та|last=
(довідка)
Дивись також
Джерела
- Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Мир.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка) - Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука.
{{cite book}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка); Проігноровано невідомий параметр|city=
(довідка)