Доповнення множин: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Lipedia (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 2: | Рядок 2: | ||
В [[теорія множин|теорії множин]] та інших галузях [[математика|математики]], одна з основних операцій на [[множина|множинах]]. |
В [[теорія множин|теорії множин]] та інших галузях [[математика|математики]], одна з основних операцій на [[множина|множинах]]. |
||
Розрізняють '''доповнення''' (абсолютне доповнення) |
Розрізняють '''доповнення множин''' (абсолютне доповнення) та '''різницю множин''' (відносне доповнення). |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
==Різниця множин (відносне доповнення)== |
==Різниця множин (відносне доповнення)== |
||
Якщо ''A'' та ''B'' - множини, то '''різницею''' між ''B'' та ''А'' (порядок множин важливий), або відносним доповненням ''A'' до ''B'', є множина з |
Якщо ''A'' та ''B'' - множини, то '''різницею''' між ''B'' та ''А'' (порядок множин важливий), або відносним доповненням ''A'' до ''B'', є множина з елементів ''B'', які не належать ''A''. Різниця множин є [[бінарна операція|бінарною операцією]]. |
||
[[ |
[[Файл:Venn0010.svg|200px|right|thumb|'''Відносне доповнення''' ''A'' до ''B'':<br><math>B \setminus A~~~=~~~A^c \cap B</math>]] |
||
Відносне доповнення <i>A</i> до <i>B</i> позначається як ''B'' − ''A'' (також 'B'' \ ''A''). |
Відносне доповнення <i>A</i> до <i>B</i> позначається як ''B'' − ''A'' (також ''B'' \ ''A''). |
||
Формально: |
Формально: |
||
Рядок 39: | Рядок 39: | ||
==Абсолютне доповнення== |
==Абсолютне доповнення== |
||
[[Зображення:Venn1010.svg|200px|right|thumb|'''Доповнення''' ''A'' до '''U'''<br><math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]] |
[[Зображення:Venn1010.svg|200px|right|thumb|'''Доповнення''' ''A'' до '''U'''<br><math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>]] |
||
Для |
Для [[універсальна множина|універсальної множини]] '''U''', відносне доповнення деякої множини ''A'' до '''U''' називається '''абсолютним доповнення''' (або просто '''доповненням''') ''A'', і позначається як ''A''<sup>C</sup> або C<sub>''A''</sub>: |
||
:''A''<sup>C</sup> = '''U''' − ''A'' |
:''A''<sup>C</sup> = '''U''' − ''A'' |
||
Рядок 45: | Рядок 45: | ||
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'' та ''B'' є [[підмножина|підмножини]] '''U''', то виконуються наступні співвідношення: |
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'' та ''B'' є [[підмножина|підмножини]] '''U''', то виконуються наступні співвідношення: |
||
:[[правила |
:[[правила де Моргана]]: |
||
::*(''A'' ∪''B'')<sup>C</sup> = ''A''<sup>C</sup> ∩''B''<sup>C</sup> |
::*(''A'' ∪''B'')<sup>C</sup> = ''A''<sup>C</sup> ∩''B''<sup>C</sup> |
||
::*(''A'' ∩''B'')<sup>C</sup> = ''A''<sup>C</sup> ∪''B''<sup>C</sup> |
::*(''A'' ∩''B'')<sup>C</sup> = ''A''<sup>C</sup> ∪''B''<sup>C</sup> |
||
Рядок 56: | Рядок 56: | ||
::*''A''<sup>C</sup><sup>C</sup> = ''A''. |
::*''A''<sup>C</sup><sup>C</sup> = ''A''. |
||
Попереднє співвідношення твердить, що якщо ''A'' є [[ |
Попереднє співвідношення твердить, що якщо ''A'' є [[непорожня підмножина]] '''U''', то {''A'', ''A''<sup>C</sup> } є '''поділом''' '''U'''. |
||
[[Категорія:Теорія множин]] |
[[Категорія:Теорія множин]] |
||
[[Категорія:Бінарні операції]] |
|||
[[ar:مجموعة مكملة]] |
[[ar:مجموعة مكملة]] |
Версія за 16:06, 15 червня 2010
В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.
Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).
Різниця множин (відносне доповнення)
Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.
Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).
Формально:
Приклади:
- {1,2,3} − {2,3,4} = {1}
- {2,3,4} − {1,2,3} = {4}
- Якщо - множина дійсних чисел, і - множина всіх раціональних чисел то є множиною ірраціональних чисел.
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі наступні співвідношення::
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
Абсолютне доповнення
Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповнення (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:
- AC = U − A
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються наступні співвідношення:
- правила де Моргана:
- (A ∪B)C = AC ∩BC
- (A ∩B)C = AC ∪BC
- закони доповнення:
- A ∪AC = U
- A ∩AC = Ø
- ØC = U
- UC = Ø
- закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
- ACC = A.
Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.