Алгебричний многовид: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
м робот додав: et:Algebraline muutkond |
||
Рядок 56: | Рядок 56: | ||
[[en:Algebraic variety]] |
[[en:Algebraic variety]] |
||
[[es:Variedad algebraica]] |
[[es:Variedad algebraica]] |
||
[[et:Algebraline muutkond]] |
|||
[[fa:چندگونای جبری]] |
[[fa:چندگونای جبری]] |
||
[[fi:Varisto (matematiikka)]] |
[[fi:Varisto (matematiikka)]] |
Версія за 22:35, 30 липня 2010
В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебраїчно замкнуте поле і — n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:
Підмножина , множини називається афінною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай — ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.
Для будь-якої алгебраїчної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів від для цього ідеалу.
Проективні многовиди
Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини називається проективною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини фактор-кільце від цього ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебраїчна множина є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій
Література
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.