Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана-Больцмана дає залежність енергії випромінювання з одиниці площі поверхні в одиницю часу від ефективної температури тіла, що випромінює. При цьому припускається, що заначене тіло випромінює енергію як абсолютно чорне тіло.

Загальний вигляд

Загальна енергія теплового випромінювання визначається як:

$F=\sigma T^{4}\,\!$,

де $F$ — потужність на одиницю площі поверхні випромінювання, а

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\simeq 5,6704\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана—Больцмана.

Доведення закону

Інтесивність випромінювання енергії абсолютно чорним тілом в залежності від частоти випромінювання визначається законом Планка як:

$B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$

де

• $B(\nu ,T)d\nu \,$ становить кількість випроміненої енергії з одиниці площі поверхні в одиницю часу в одиницю тілесного кута на частоті ν абсолютно чорним тілом з температурою T
• $h\,$ є сталою Планка
• $c\,$ відповідає швидкості світла, та
• $k\,$ є сталою Больцмана.

Потік випромінювання визначається через інтенсивність як Неможливо розібрати вираз (невідома функція '\piB'): {\displaystyle F(\nu,T)=\piB(\nu,T)} . Відповідно, щоб визначити повну енергію випромінену на всіх частотах, потрібно проінтегрувати вираз для потоку випромінювання в межах всіх можливих значень частоти:

Неможливо розібрати вираз (невідома функція '\piB'): {\displaystyle F(T)=\int_{0}^{\infty}\piB(\nu,T) d\nu =\int_{0}^{\infty}\frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu= \frac{2 \pi h}{c^2}(\frac{kT}{h})^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1} dx,}

де виконано заміну змінної інтеррування $\nu ={\frac {kTx}{h}}$ й відповідно $d\nu ={\frac {kT}{h}}dx$.

Отриманий інтеграл є табличним й дорівнює ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$, тому:

$B(T)={\frac {2h\pi ^{5}}{15c^{2}}}({\frac {kT}{h}})^{4}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4},$

де $\sigma \,$ є сталою Стефана-Больцмана