Нерівність Єнсена

Нерівність Єнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.

Дискретний випадок

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x₁, x₂,…,x_n з її області визначення та додатніх чисел a_i, справджується:

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}};$

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}.$

Позначивши $\lambda _{i}={\frac {a_{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$ отримаємо еквівалентне формулювання:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i}),$

де:

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{n}=1,$

За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:

• Нерівність Коші,
• Нерівності про середнє.

Імовірнісне формулювання

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — простір імовірностей, і $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ — визначена на ньому випадкова величина. Нехай також $\varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — інтегровна опукла функція. Тоді

$\varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]$,

Де $\mathbb {E} [\cdot ]$ — математичне очікування.

Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.

Нехай додатково маємо ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$ — під-σ-алгебра подій. Тоді

$\varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]$,

де $\mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]$ позначає умовне математичне очікування відносно σ-алгебри ${\mathcal {G}}$.

Доведення

Дискретний випадок

Якщо λ₁ і λ₂ — два довільні додатні дійсні числа, такі що: λ₁ + λ₂ = 1 тоді враховуючи опуклість $\scriptstyle \varphi$ маємо

$\varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2}){\text{ for any }}x_{1},\,x_{2}.$

Цю нерівність можна узагальнити: якщо λ₁, λ₂, …, λ_n є додатніми дійсними числами, такими що λ₁ + … + λ_n = 1, тоді

$\varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),$

для будь-яких x₁, …, x_n.

Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений методом математичної індукції. Згідно припущення індукції твердження справедливе для n = 2. Припустимо воно справедливе для певногго даного n і потрібно довести нерівність для n + 1. Принаймі одне λ_i є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) λ₁. За означенням опуклості:

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)=\varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+(1-\lambda _{1})\sum _{i=2}^{n+1}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+(1-\lambda _{1})\varphi \left(\sum _{i=2}^{n+1}\left({\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{1}}}x_{i}\right)\right).$

Оскільки $\scriptstyle \sum _{i=2}^{n+1}\lambda _{i}/(1-\lambda _{1})\,=\,1$, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення індукції, після чого отримуємо бажаний результат.

Дивись також

• Нерівність Гельдера
• Нерівність Мінковського
• Опукла функція

Джерела

• Э. Беккенбах, Р. Беллман (1965). Неравенства. Мир. {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка); Проігноровано невідомий параметр |city= (довідка)
• Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука. {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка); Проігноровано невідомий параметр |city= (довідка)