Дельта-функція Дірака: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Немає опису редагування |
м робот видалив: hu:Dirac-deltafüggvény; косметичні зміни |
||
Рядок 159: | Рядок 159: | ||
== Примітки == |
== Примітки == |
||
<references/> |
<references/> |
||
[[Категорія:Теорія міри]] |
[[Категорія:Теорія міри]] |
||
[[Категорія:Функції]] |
[[Категорія:Функції]] |
||
Рядок 174: | Рядок 175: | ||
[[fr:Distribution de Dirac]] |
[[fr:Distribution de Dirac]] |
||
[[he:פונקציית דלתא של דיראק]] |
[[he:פונקציית דלתא של דיראק]] |
||
[[hu:Dirac-deltafüggvény]] |
|||
[[is:Deltufallið]] |
[[is:Deltufallið]] |
||
[[it:Delta di Dirac]] |
[[it:Delta di Dirac]] |
Версія за 19:22, 5 листопада 2010
δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .
Означення
δ-функція визначається формальним співвідношенням
для будь-якої неперервної функції .
Властивості
Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:
- .
- .
- .
- , де — нулі функції .
Інтегральне представлення
У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл
- , (1)
який можна інтерпретувати як границю
- . (2)
Відомо, що
- . (3)
В силу (3) для будь-якого справедлива рівність:
- . (4)
Можна показати, що при необмеженому зростанні виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ; це дозволяє зробити висновок, що:
- .
Похідна дельта-функції
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції :
- .
Підставивши , одержимо вираз:
- .
Після перетворення маємо:
- .
Оскільки , одержуємо остаточний вираз
- .
У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:
- .
Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:
- ;
- ;
- .
Перетворення Фур'є
До дельта-функції можна застосувати перетворення Фур'є:
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: .
Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:
- .
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
- ,
одержимо її образ у вигляді:
- .
Представлення в різних координатах і системах відліку
У двовимірному просторі:
- ;
- ;
- .
У полярних координатах:
- .
У тривимірному просторі:
- ;
- .
У циліндричній системі:
- .
У сферичній системі відліку:
- .
Фізична інтерпретація
Миттєве прискорення
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
- .
Функція Гріна
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазіклачисному наближенні хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора , що діє на узагальнені функції над многовидом в точці . Рівняння має вигляд .
де — оператор Лапласа.
Важливо відмітити наступну формулу
- ,
де
Цей вираз випливає з того, що веде себе подібно до дельта-функції. [1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:
задовольняє рівнянню Пуасона:
- .
Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.
Див. також
Література
- Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4