Число Кармайкла: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
м робот додав: cs:Carmichaelovo číslo |
Іванко1 (обговорення | внесок) м стильові правлення |
||
Рядок 13: | Рядок 13: | ||
З цієї теореми випливає, що всі числа Кармайкла [[парність|непарні]], оскільки будь-яке [[парність|парне]] складене число, вільне від квадратів, має принаймні одного непарного простого дільника, і тому з ''p − 1 | n − 1'' випливає, що парне ділить непарне, що невірно - суперечність. |
З цієї теореми випливає, що всі числа Кармайкла [[парність|непарні]], оскільки будь-яке [[парність|парне]] складене число, вільне від квадратів, має принаймні одного непарного простого дільника, і тому з ''p − 1 | n − 1'' випливає, що парне ділить непарне, що невірно - суперечність. |
||
Такі числа Кармайкла: |
|||
: <math>1105 = 5 \cdot 13 \cdot 17 \qquad (4 \mid 1104; 12 \mid 1104; 16 \mid 1104)</math> |
: <math>1105 = 5 \cdot 13 \cdot 17 \qquad (4 \mid 1104; 12 \mid 1104; 16 \mid 1104)</math> |
Версія за 20:39, 26 січня 2011
У теорії чисел кармайклове число це додатнє складене число n, що задовольняє умову для всіх цілих b, взаємно простих з n.
Названі в честь американського математика Роберта Кармайкла, що у 1910 році знайшов перше і найменше таке число, 561.
Загальне уявлення
Мала теорема Ферма стверджує, що будь-яке просте число задовольняє вище вказану властивість. У цьому сенсі числа Кармайкла подібні простим. Тому вони називаються псевдопростими числами.
Еквівалентне визначення чисел Кармайкла дає критерій Корсельта.
Теорема (Корсельт, 1899) : Складене число n є числом Кармайкла тоді і тільки тоді, коли n вільне від квадратів і для всіх простих дільників p числа n вірно p − 1 | n − 1 (позначення а | b означає, що а ділить b).
З цієї теореми випливає, що всі числа Кармайкла непарні, оскільки будь-яке парне складене число, вільне від квадратів, має принаймні одного непарного простого дільника, і тому з p − 1 | n − 1 випливає, що парне ділить непарне, що невірно - суперечність.
Такі числа Кармайкла:
У 1994 році Альфорс, Ґренвіл і Померанс довели, що для достатньо великих чисел n кількість чесел Кармайкла, що не перевищують n є не меншою n2 / 7. Звідси зокрема випливає нескінченність множини цих чисел.
Властивості
Числа Кармайкла мають щонайменше три прості додатні множники. Нижче подані найменші такі числа з простими множниками:
k | |
---|---|
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 |
Перші числа Кармайкла з чотирма простими множниками:
i | |
---|---|
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 |
Розподіл
Нехай позначає кількість чисел Кармайкла, менших . Ердеш довів в 1956 році, що
для деякої константи ;
У наступній таблиці наведені наближені значення цієї константи:
n | k |
---|---|
104 | 2.19547 |
106 | 1.97946 |
108 | 1.90495 |
1010 | 1.86870 |
1012 | 1.86377 |
1014 | 1.86293 |
1016 | 1.86406 |
1018 | 1.86522 |
1020 | 1.86598 |
Цікаві факти
Друге числа Кармайкла (1105) може бути представлене як сума двох квадратів більшою кількістю способів, ніж будь-яке менше число. Третє число Кармайкла (1729) є числом Рамануджана — Харді (найменше число, що можна записати у вигляді суми двох кубів двома способами).
Джерела
- Chernick, J. (1935). On Fermat's simple theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274.
- Ribenboim, Paolo (1996). The New Book of Prime Number Records.
- Löh, Günter and Niebuhr, Wolfgang (1996). A new algorithm for constructing large Carmichael numbers(pdf)
- Korselt (1899). Problème chinois. L'intermédiaire des mathématiciens, 6, 142–143.
- Carmichael, R. D. (1912) On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence . Am. Math. Month. 19 22–27.
- Erdős, Paul (1956). On pseudoprimes and Carmichael numbers, Publ. Math. Debrecen 4, 201 –206.