Замкнута множина: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''За́мкнута мно́жина''' — |
'''За́мкнута мно́жина''' — [[доповнення множин|доповнення]] до деякої [[відкрита множина|відкритої множини]]. |
||
== Означення == |
== Означення == |
Версія за 16:59, 22 лютого 2011
За́мкнута мно́жина — доповнення до деякої відкритої множини.
Означення
Нехай дано топологічний простір . Множина називаєтся замкнутою відносно топології , якщо існує відкрита множина така що
Приклади
- Весь простір , а також порожня множина завжди замкнуті.
- Інтервал замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
- Множина замкнута в просторі раціональних чисел , але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел .
Властивості
Із аксіом означення топології випливає:
- перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
- об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною
Інші властивості:
- множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в , (при стандартній топології на )
- множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)
Див. також
Література
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин (1989). Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: «Наука».
- С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
- Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.