Нерівність Бернуллі: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Nikys (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Nikys (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 7: | Рядок 7: | ||
== Доведення == |
== Доведення == |
||
Доведення проводиться методом [[математична індукція|математичної індукції]] по ''n''. При ''n'' = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1: |
Доведення <math> \forall n\in\mathbb{N}_0</math> проводиться методом [[математична індукція|математичної індукції]] по ''n''. При ''n'' = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1: |
||
: <math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>. </br> |
: <math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>. </br> |
||
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші <math>n\in\mathbb{R}</math>. Доведення '''узагальненої нерівності Бернуллі''' наведено нище.</br> |
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші <math>n\in\mathbb{R}</math>. Доведення '''узагальненої нерівності Бернуллі''' наведено нище.</br> |
Версія за 22:48, 15 березня 2011
Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то
- для всіх
Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:
- якщо , то
- якщо , то
- при цьому рівність досягається в двох випадках:
Доведення
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:
- .
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо , причому .
Похідна при , оскільки .
Функція двічі дифференціюєма в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо:
- ⇒ при
- ⇒ при
Значення функції , відповідно, справедливі наступні тверждення:
- якщо , то
- якщо , то
Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.
Зауваження
- Нерівність справедлива також для дійсних (при )
- Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.
Назва
Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі