Нерівність Бернуллі: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Nikys (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Nikys (обговорення | внесок) |
||
Рядок 21: | Рядок 21: | ||
== Зауваження== |
== Зауваження== |
||
* Нерівність справедлива також для [[дійсні числа|дійсних]] <math>n\geq 1</math> (при <math>x\geq -1</math>) |
|||
* Нерівність також справедлива для <math>x\geq -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), але вказане вище доведення методом [[математична індукція|математичної індукції]] у випадку <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> не працює. |
* Нерівність також справедлива для <math>x\geq -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), але вказане вище доведення методом [[математична індукція|математичної індукції]] у випадку <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> не працює. |
||
Версія за 22:53, 15 березня 2011
Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то
- для всіх
Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:
- якщо , то
- якщо , то
- при цьому рівність досягається в двох випадках:
Доведення
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:
- .
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо , причому .
Похідна при , оскільки .
Функція двічі дифференціюєма в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо:
- ⇒ при
- ⇒ при
Значення функції , відповідно, справедливі наступні тверждення:
- якщо , то
- якщо , то
Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.
Зауваження
- Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.
Назва
Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі