Нерівність Бернуллі: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Nikys (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Nikys (обговорення | внесок)
Рядок 21: Рядок 21:


== Зауваження==
== Зауваження==
* Нерівність справедлива також для [[дійсні числа|дійсних]] <math>n\geq 1</math> (при <math>x\geq -1</math>)
* Нерівність також справедлива для <math>x\geq -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), але вказане вище доведення методом [[математична індукція|математичної індукції]] у випадку <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> не працює.
* Нерівність також справедлива для <math>x\geq -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), але вказане вище доведення методом [[математична індукція|математичної індукції]] у випадку <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> не працює.



Версія за 22:53, 15 березня 2011

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то

для всіх

Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

  • якщо , то
  • якщо , то
  • при цьому рівність досягається в двох випадках:

Доведення

Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

.

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нище.
Розглянемо , причому .
Похідна при , оскільки .
Функція двічі дифференціюєма в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо:

  • при
  • при

Значення функції , відповідно, справедливі наступні тверждення:

  • якщо , то
  • якщо , то

Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.

Зауваження

  • Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.

Назва

Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі