Рівняння Гельмгольца: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 23: | Рядок 23: | ||
Для двовимірної задачі в [[полярна система координат|полярній системі координат]] розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції [[функція Бесселя|функцій Бесселя]]: |
Для двовимірної задачі в [[полярна система координат|полярній системі координат]] розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції [[функція Бесселя|функцій Бесселя]]: |
||
:<math> F = \sum_n (a_n J_n(k \rho) + b_n Y_n(k \rho) e^{in\varphi} </math>. |
:<math> F = \sum_n (a_n J_n(k \rho) + b_n Y_n(k \rho)) e^{in\varphi} </math>. |
||
Версія за 20:03, 24 березня 2011
Рівняння Гельмгольца - диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:
- ,
де - невідома функція, - оператор Лапласа, k - параметр.
Зв'язок із хвильовим рівнянням
Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:
- ,
якщо його розв'язок шукати у вигляді:
- .
При цьому
- .
Розв'язки
Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.
Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:
- ,
де .
Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:
- .