Теорема Безу

Теорема Безу — теорема про остачу ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Формулювання

Остача від ділення многочлена $\ P(x)$ на двочлен $x-a\,$ дорівнює $P(a)\,$.

Наслідок

• Число a є коренем многочлена $P(x)\,$ тоді й тільки тоді, коли $P(x)\,$ ділиться без остачі на двочлен $x-a\,$.

Доведення теореми Безу

Якщо ділення многочлена $P(x)\,$ на двочлен $x-a\,$ дає остачу $R$ ($R={\mbox{const}}\,$), тоді $P(x)\,$ можна записати у вигляді

$P(x)=(x-a)Q(x)+R\,$,

де $Q(x)\,$ - многочлен нижчого степеня ($\deg Q(x)<\deg P(x)\,$). Значення $P(x)\,$ в точці $a\,$ дорівнює $P(a)=(a-a)Q(a)+R=R\,$, що й треба довести.

$P(a)=0\,$ (тобто число a є коренем многочлена) тоді й тільки тоді, коли $R=0\,$.