Лема про вкладені відрізки

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта $x_{n}$ та монотонно спадна варіанта $y_{n}$, причому завжди

$x_{n}<y_{n}$. (Посилання 1)

Якщо їх різниця $y_{n}-x_{n}$ пямує до 0, тоді обидві варіанти мають загальну кінцеву границю: $c=\lim x_{n}=\lim y_{n}$

Допоміжна теорема для доведення

Якщо варіанти $x_{n}$ та $y_{n}$ мають кінцеві границі:

$\lim x_{n}=a$, $\lim y_{n}=b$,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

$\lim(x_{n}\pm y_{n})=a\pm b$

Доведення

З умови теореми випливає, що

$x_{n}=a+\alpha _{n}$, $y_{n}=b+\beta _{n}$, (посилання 2)

де $\alpha _{n}$, $\beta _{n}$ - нескінченно малі. Тоді

$x_{n}\pm y_{n}=(a\pm b)+(\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

Тут $\alpha _{n}\pm \beta _{n}$ є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта $x_{n}\pm y_{n}$ має границю, що дорівнює $a\pm b$, що і потрібно було довести.

Доведення

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: $y_{n}\leq y_{1}$, а значить, зважаючи на (1), і $x_{n}<y_{1}(n=1,2,3,...)$. Зростаюча змінна $x_{n}$ виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю $c=\lim x_{n}$.

Аналогічно, для спадної змінної $y_{n}$ будемо мати $y_{n}>x_{n}\geq x_{1}$, так що і вона прямує до кінцевою границі $c^{'}=\lim y_{n}$.

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

$c^{'}-c=\lim(y_{n}-x_{n})$

тобто, за умовами рівна 0, так що $c^{'}=c$, що і треба було довести.

Джерела

Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969