Метричний простір: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Kpi.fpm (обговорення | внесок) |
Kpi.fpm (обговорення | внесок) |
||
Рядок 35: | Рядок 35: | ||
Якщо відображення <math>\;f:X \to Y</math> взаємно однозначне, то існує обернене відображення <math>\;x=f^{-1}(y)</math> простору <math>\;Y</math> на простір <math>\;X</math>. Якщо відображення <math>\;f</math> взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори <math>\;X</math> та <math>\;Y</math>, між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення. |
Якщо відображення <math>\;f:X \to Y</math> взаємно однозначне, то існує обернене відображення <math>\;x=f^{-1}(y)</math> простору <math>\;Y</math> на простір <math>\;X</math>. Якщо відображення <math>\;f</math> взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори <math>\;X</math> та <math>\;Y</math>, між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення. |
||
Кажуть, що бієкція <math>\;f</math> між метричними просторами <math>(X,\;d_1)</math> <math>(Y,\;d_2)</math> є ізометрією, якщо <math>d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x2))\; \forall x_1,x_2 \in \R</math>. Простори <math>\;X</math> і <math>\;Y</math>, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними. |
Кажуть, що бієкція <math>\;f</math> між метричними просторами <math>(X,\;d_1)</math> і <math>(Y,\;d_2)</math> є ізометрією, якщо <math>d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x2))\; \forall x_1,x_2 \in \R</math>. Простори <math>\;X</math> і <math>\;Y</math>, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними. |
||
Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні. |
Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні. |
Версія за 18:01, 26 червня 2011
Метричний простір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.
Формальне визначення
Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовільняє наступні 3 аксіоми:
- (аксіома тотожості).
- (аксіома симетрії).
- (нерівність трикутника).
Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:
Приклади метричних просторів
- Простір ізольованих точок
- Множина дійсних чисел утворює метричний простір
- Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором . - Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню
позначимо простором . - Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
Цей простір в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір . - Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню
- Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовільняють умові: , а відстань визначається формулою:
- Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:
Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. - Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:
- Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
,
де - будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо
Метричні простори та аксіоми зчисленності
1. Будь-який метричний простір задовільняє першу аксіому зчисленності.
Нехай - довільна точка метричного простору , тоді в якості зчисленної визначальної системи околів можна взяти кулі .
Тоді, для кожної граничної точки знайдеться збіжна послідовність точок із цієї множини.
2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє другу аксіому зчисленності.
Зчисленну базу топології такого простору утворюють, наприклад, наступні відкриті кулі: , де - зчисленна скрізь щільна множина, а змінні пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.
Топологія породжена метрикою
Кожна метрика породжує топологію базою, що складається з відкритих куль метричного простору. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.
Гомеоморфізм. Ізоморфізм
Якщо відображення взаємно однозначне, то існує обернене відображення простору на простір . Якщо відображення взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори та , між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.
Кажуть, що бієкція між метричними просторами і є ізометрією, якщо . Простори і , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.
Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.
Приклади
Дивіться також
Література
- С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
- П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.
{{cite book}}
: Cite має пусті невідомі параметри:|пубрік=
|глава=
|пубдата=
|авторлінк=
|лінк=
|главалінк=
|пубмісяць=
(довідка)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |