Кардинальне число

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об’єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини A позначається як |A| або Card A

Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора-Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Числа алеф

Кардинальне число множини N всіх натуральних чисел (а значить, і будь-якої зліченної множини позначають через $\aleph _{0}$ (читається "алеф-нуль"). Кардинальне число континуальних множин позначають c або $\aleph _{1}$ ("алеф-один"). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots$. Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Гіпотеза континуума

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число $\aleph$ якої розташоване між $\aleph _{0}$ (кардиналом множини натуральних чисел) і $\aleph _{1}$ (кардиналом множини дійсних чисел), тобто $\aleph _{0}$ < $\aleph$ < $\aleph _{1}$.

Дивись також

• Потужність множини
• Арифметика кардиналів
• Теорема Кантора-Бернштейна
• Континуум-гіпотеза