Область цілісності

Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею, в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.

Еквівалентне визначення: область цілісності — це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий ідеал {0} є простим.

Приклади

• Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел $\mathbb {Z}$.
• Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
• Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце $\mathbb {Z} [x]$ многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце $\mathbb {R} [x,y]$ многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
• Множина дійсних чисел виду $a+b{\sqrt {2}}$ є підкільцем поля $\mathbb {R}$, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду $a+bi$, де $a$ і $b$ цілі.
• Нехай $U$ - зв'язна відкрита підмножина комплексної площини $\mathbb {C}$. Тоді кільце $H(U)$ всіх голоморфних функцій $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
• Якщо $K$ - комутативне кільце, а $I$ - ідеал в $K$, то фактор-кільце $K/I$ цілісне тоді і тільки тоді, коли $I$ — простий ідеал.
• Кільце p-адичних цілих чисел.

Подільність, прості незвідні елементи

Нехай $a$ і $b$ - елементи цілісного кільця $K$. Говорять, що «$a$ ділить $b$» або «$a$ - дільник $b$» (і пишуть $a\mid b$), якщо і тільки якщо існує елемент $x\in K$ такий, що $ax=b$.

Подільність транзитивна: якщо $a$ ділить $b$ і $b$ ділить $c$, то $a$ ділить $c$. Якщо $a$ ділить $b$ і $c$, то $a$ ділить також їх суму $b+c$ і різниця $b-c$.

Для кільця $K$ з одиницею елементи $a\in K$, які ділять 1, називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи а і b називаються асоційованими, якщо а ділить b і b ділить а. а і b асоційовані тоді і тільки тоді, коли $a=b*e$, де e - оборотний елемент.

Ненульовий елемент $q$, що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент $p$ називається простим, якщо з того, що $p\mid ab$, слідує $p\mid a$ або $p\mid b$. Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці $\mathbb {Z}$, проте враховує і негативні прості числа. Якщо $p$ - простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал $(p)$ буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості

• Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
  • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
• Якщо $A$ — область цілісності, те кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над $A$ також будуть областями цілісності.
• Якщо $A$ — комутативне кільце з одиницею і $I$ — деякий ідеал $A$, то кільце $A/I$ є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал $I$ є простим.
• Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
• Прямий добуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
• Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
• Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.

Варіації і узагальнення

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Iain T. Adamson (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1