Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Теорема Лейбніца (ознака Лейбніца, правило Лейбніца або критерій Лейбніца)  — теорема у математичному аналізі доведена Готфрідом Лейбніцем, що дає достатні умови збіжності знакопереміжнного ряду зі спадаючими членами за абсолютним значенням.

Твердження

Якщо послідовність $\{|a_{n}|\}$ спадає монотонно і $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$, тобто:

1. $0<a_{n+1}<a_{n};$
2. $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0,$

то знакопереміжний ряд є збіжним.

Доведення

Нехай задано ряд вигляду $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$, де $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0$ і $a_{n}\geq a_{n+1}$ для усіх $n\in \mathbb {N}$. (Випадок $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ випливає з цього доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)

Доведення збіжності

Доведемо, що обидві часткові суми $S_{2m+1}=\sum \limits _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}$ з непарною кількістю елементів та $S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}$ з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення $L$. Тоді звичайна часткова сума $S_{k}=\sum \limits _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}$ також збігається до $L$.

Непарні часткові суми спадають монотонно

$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1},$

у той час як парні часткові суми зростають монотонно

$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}.$

Обидва випадки виконуються тому, що значення $a_{n}$ зменшується монотонно із збільшенням $n$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})+\dots +(a_{2n-1}-a_{2n}).$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2m}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2m}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n},$

тобто $S_{2m}<a_{1}$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1)^{n-1}a_{n}=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\ldots +\left(a_{2N-1}-a_{2N}\right),$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2N}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2N}=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-\ldots -\left(a_{2N-2}-a_{2N-1}\right)-a_{2N},$

тобто $S_{2N}<a_{1}$.

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: $S_{2m+1}=S_{mn}-a_{2n}$ і оскільки $a_{2n}$ збігається до нуля, границя $S_{2m+1}$ існує і рівна границі $S_{2m}$. Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки $a_{n}$ — додатні, то $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2n+1}\geq 0$. Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей

$a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.$

Зауважимо, що число $a_{1}-a_{2}$ є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності $S_{2m+1}$. Тоді з теореми Леві про монотонну збіжність випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні $m$ до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки

$\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.$

Позначимо границю як $L$, тоді теорема про монотонну збіжність додатково дає нам, що

$S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}$

для будь-якого $m$. Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються вище і нижче фінальної границі. Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

Доведення для оцінки залишку часткових сум

Покажемо, що $|S_{k}-L|\leq a_{k+1}$, розглянувши два випадки.

Якщо $k=2m+1$, тобто непарне, то

$|S_{2m+1}-L|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.$

Якщо $k=2m$, тобто парне, то

$|S_{2m}-L|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}.$

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують ознаку збіжності Коші, дивись знакопереміжний ряд.

Для узагальнення дивися ознаку Діріхле.

Наслідок

З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:

$S_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}.$

Залишок ряду $R_{n}=S-S_{n}$ за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

$\left|R_{n}\right|<\left|a_{n+1}\right|.$

Контрприклад

Усі умови ознаки, а саме збіжність до $0$ і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд

${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots .$

Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку. Насправді ряд є розбіжним. Дійсно, для часткових сум $S_{2n}$ маємо $S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}$, що є подвоєною частковою сумою гармонічного ряду, який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

Див. також

• Знакопереміжний ряд
• Ознака Діріхле

Примітки

↑ На практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що $a_{n}\geq a_{n+1}$ для усіх $n$, починаючи з деякого номера.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3
• Ознака Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 513. — 594 с.
• Weisstein, Eric W. Leibniz Criterion(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.