Теорема Сколема — Нетер

В теорії кілець теорема Сколема — Нетер описує гомоморфізми між центральними простими алгебрами і простими алгебрами, зокрема автоморфізми центральних простих алгебр. Теорема зокрема має важливе значення у теорії тіл (які є центральними простими алгебрами над своїм центром) і іноді називається першою основною теоремою теорії тіл.

Теорему вперше довів норвезький математик Торальф Сколем у 1927 році.

Твердження теореми

Якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної простої алгебри В в скінченновимірну центральну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що $g(b)=af(b)a^{-1}$ для всіх $b\in B.$

Доведення

Розглянемо алгебру $A\otimes _{k}B^{\text{op}}$, яка є простою оскільки A є центральною простою алгеброю, а B^op є простою. На A можна ввести структури модуля над $A\otimes _{k}B^{\text{op}}$ за допомогою операцій множення:

$\left(a\otimes _{k}b\right)x=f(b)xa$ і $\left(a\otimes _{k}b\right)x=g(b)xa$.

Позначимо ці модулі $A_{f}$ і $A_{g}$ відповідно. Оскільки вони є модулями над простою алгеброю (а, згідно теореми Веддерберна — Артіна, фактично над алгеброю матриць над деяким тілом) і розмірності їх над k є однаковими (рівними розмірності A як k-векторного простору), то $A_{f}$ і $A_{g}$ є ізоморфними.

Нехай $\phi$ — ізоморфізм з $A_{f}$ у $A_{g}$. Тоді $\phi$ є автоморфізмом A як правого модуля над собою і тому має вигляд $\phi (x)=ax$ де a — фіксований оборотний елемент з A. Крім того $\phi$ є гомоморфізмом лівих B-модулів, тобто $\phi (bx)=b\phi (x)$ або, якщо означення $A_{f}$ і $A_{g}$ , то $\phi (f(b)x)=g(b)\phi (x)$. Зокрема для x = 1, одержується рівність $af(b)=\phi (f(b))=g(b)\phi (1)=g(b)a$ для будь-якого $b\in B.$ Звідси остаточно $g(b)=af(b)a^{-1},$ що завершує доведення.

Наслідки

• Ізоморфні прості підалгебри В і В' скінченновимірної центральної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм $g:B\to B'$ продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд $g(b)=aba{-1},$ де а — оборотний елемент алгебри А.

Доведення випливає з теореми Сколема — Нетер, якщо разом з g розглянути тотожне вкладення f алгебри В в алгебру А.

• Будь-який автоморфізм центральної простої алгебри є внутрішнім, тобто $\phi (x)=axa{-1},$ де а — оборотний елемент алгебри А. У цьому твердженні факт того, що А є центральною алгеброю є значимим. Наприклад комплексні числа є алгеброю над полем дійсних чисел і комплексне спряження є автоморфізмом цієї алгебри, що не є внутрішнім автоморфізмом.
• У доведенні теореми роль А і B є значною мірою симетричною, тому при незначній модифікації доведення одержується симетрична версія теореми: якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної центральної простої алгебри В в скінченновимірну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що $g(b)=af(b)a^{-l}$ для всіх $b\in B.$
• Також з попередньої версії теореми виводиться симетрична версія першого наслідку: ізоморфні центральні прості підалгебри В і В' скінченновимірної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм $g:B\to B'$ продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд $g(b)=aba{-1},$ де а — оборотний елемент алгебри А.

Узагальнення

Нехай R — просте кільце Артіна з центром F, і нехай A, B — прості підалгебри в R, які містять F і мають скінченну розмірність над F. Якщо $\phi$ — ізоморфізм А на В, як F-алгебр, то існує оборотний елемент $x\in R,$ такий, що $\phi (a)=xax^{-1}$ для всіх $a\in A.$

Див. також

• Центральна проста алгебра

Література

• Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
• Draxl, P. K. (1983). Skew Fields. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 81. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521272742.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. MR 2266528.