Схема Ель-Гамаля

Схема Ель-Гамаля (ElGamal) — криптосистема з відкритим ключем, яку засновано на складності обчислення дискретних логарифмів у скінченному полі. Криптосистема включає у себе алгоритм шифрування і алгоритм цифрового підпису. Схема Ель-Гамаля лежить в основі колишніх стандартів електронного цифрового підпису в США (DSA) і Росії (ГОСТ Р 34.10-94).

Схему запропонував Тахер Ель-Гамаль 1985 року. Ель-Гамаль розробив один з варіантів алгоритму Діффі-Геллмана. Він удосконалив систему Діффі-Геллмана й отримав два алгоритми, які призначено для шифрування та для автентифікації. На відміну від RSA, алгоритм Ель-Гамаля не запатентовано, і тому він став дешевшою альтернативою, оскільки оплата внесків за ліцензію не потрібна. Вважається, що алгоритм потрапляє під дію патенту Діффі-Геллмана.

Генерація ключів

1. Генерується випадкове просте число $~p$ бітів.
2. Обирається випадковий примітивний елемент $~g$ поля $\mathbb {Z} _{p}$.
3. Обирається випадкове ціле число $~x$ таке, що $~1<x<p-1$.
4. Обчислюється $~y=g^{x}\,{\bmod {\,}}p$.
5. Відкритий ключ — це трійка $\left(p,g,y\right)$, а приватний ключ — це число $~x$.

Робота в режимі шифрування

Шифросистема Ель-Гамаля — один зі способів створення відкритих ключів Діффі - Геллмана. Шифрування за схемою Ель-Гамаля не слід плутати з алгоритмом цифрового підпису за схемою Ель-Гамаля.

Шифрування

Повідомлення $~M$ шифрується так:

1. Обирається сесійний ключ — випадкове ціле число $~k$ таке, що $~1<k<p-1$
2. Обчислюються числа $a=g^{k}\,{\bmod {\,}}p$ і $b=y^{k}M\,{\bmod {\,}}p$.
3. Пара чисел $\left(a,b\right)$ є шифротекстом.

Неважко бачити, що довжина шифротексту в схемі Ель-Гамаля є довшою за повідомлення $M$ удвічі.

Розшифрування

Знаючи приватний ключ $~x$, повідомлення $M$ можна обчислити з шифротексту $\left(a,b\right)$ за формулою:

$M=b(a^{x})^{-1}\,{\bmod {\,}}p.$

При цьому неважко перевірити, що

$~(a^{x})^{-1}\equiv g^{-kx}{\pmod {p}}$

і тому

$~b(a^{x})^{-1}\equiv (y^{k}M)g^{-xk}\equiv (g^{xk}M)g^{-xk}\equiv M{\pmod {p}}$.

Для практичних обчислень більше підходить така формула:

$M=b(a^{x})^{-1}\,{\bmod {\,}}p=b\cdot a^{(p-1-x)}\,{\bmod {\,}}p$

Приклад

• Шифрування
  1. Припустімо, що потрібно зашифрувати повідомлення $~M=5$.
  2. Згенеруймо ключі:
     1. Нехай $~p=11,g=2$. Оберімо $~x=8$ — випадкове ціле число $~x$ таке, що $~1<x<p$.
     2. Обчислімо $~y=g^{x}{\bmod {p}}=2^{8}{\bmod {11}}=3$.
     3. Отже, відкритий ключ — це трійка $~(p,g,y)=(11,2,3)$, а приватний ключ — це число $~x=8$.
  3. Оберімо випадкове ціле число $~k$ таке, що 1 < k < (p − 1). Нехай $~k=9$.
  4. Обчислімо значення $~a=g^{k}{\bmod {p}}=2^{9}{\bmod {11}}=512{\bmod {11}}=6$.
  5. Обчислімо значення $~b=y^{k}M{\bmod {p}}=3^{9}5{\bmod {11}}=19683\cdot 5{\bmod {11}}=9$.
  6. Отримана пара $~(a,b)=(6,9)$ є шифротекстом.
• Розшифрування
  1. Необхідно отримати повідомлення $~M=5$ за відомими шифротекстом $~(a,b)=(6,9)$та приватним ключем $~x=8$.
  2. Обчислімо $M$ за формулою: $~M=b(a^{x})^{-1}{\bmod {p}}=9(6^{8})^{-1}\mod {11}=5$
  3. Отримали повідомлення $~M=5$.

Через те, що до схеми Ель-Гамаля вводиться випадкова величина $k$, шифр Ель-Гамаля можна назвати шифром багатозначної заміни. Через випадковість вибору числа $~k$ таку схему ще називають схемою імовірнісного шифрування. Імовірнісний характер шифрування — це перевага для схеми Ель-Гамаля, тому що у схем імовірнісного шифрування спостерігається більша стійкість у порівнянні зі схемами з певним процесом шифрування. Вадою схеми шифрування Ель-Гамаля можна назвати подвоєння довжини зашифрованого тексту в порівнянні з початковим текстом. Для схеми імовірнісного шифрування саме повідомлення $M$ і ключ не визначають шифротекст однозначно. У схемі Ель-Гамаля необхідно використовувати різні значення випадкової величини $k$ для шифрування різних повідомлень $M$ і $M'$. Якщо використовувати однакові $k$, то для відповідних шифротекстів $(a,b)$ і $(a',b')$ виконується співвідношення $b(b')^{-1}=M(M')^{-1}$. З цього виразу можна легко обчислити $M'$, якщо відоме $M$.

Робота в режимі підпису

Цифровий підпис підтверджує (або спростовує) недоторканності підписаних даних, а також те, що дані підписав їхній власник. Одержувач підписаного повідомлення може використовувати цифровий підпис для доказу третій стороні того, що підпис дійсно зробив їх відправник. При роботі в режимі підпису передбачається наявність фіксованої геш-функції $~h(\cdot )$, значення якої лежать в інтервалі $\left(1,p-1\right)$.

Підпис повідомлень

Для підпису повідомлення $~M$ виконуються наступні операції:

1. Обчислюється дайджест повідомлення $~M$: $~m=h(M).$
2. Обирається випадкове число $~1<k<p-1$ взаємно просте з $~p-1$ і обчислюється $~r=g^{k}\,{\bmod {\,}}p.$
3. Обчислюється число $s\,\equiv \,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$.
4. Підписом повідомлення $~M$ вважається пара $\left(r,s\right)$.

Перевірка підпису

Знаючи відкритий ключ $\left(p,g,y\right)$ і підпис $\left(r,s\right)$, повідомлення $~M$ перевіряється так:

1. Перевіряються дві умови: $~0<r<p$ і $~0<s<p-1$. Якщо хоча б одна з них не виконується, то підпис вважається недійсним.
2. Обчислюється дайджест $~m=h(M).$
3. Підпис вважається справжнім, якщо виконується рівність:

   $~y^{r}r^{s}\equiv g^{m}{\pmod {p}}.$

Приклад

• Підпис повідомлення.
  1. Припустімо, що потрібно підписати повідомлення $~M=baaqab$.
  2. Згенеруймо ключі:
     1. Нехай $~p=23$ та $~g=5$ змінні, які відомі у деякій спільноті. Секретний ключ $~x=7$ — випадкове ціле число $~x$, таке, що $~1<x<p$.
     2. Обчислімо відкритий ключ $~y$: $~y=g^{x}{\bmod {p}}=5^{7}{\bmod {2}}3=17$.
     3. Отже, відкритий ключ — це трійка $~(p,g,y)=(23,5,17)$.
  3. Тепер обчислімо геш-функцію: $~h(M)=h(baaqab)=m=3$.
  4. Оберімо випадкове число $~k$ таке, щоб виконувалася умова $1<k<p-1$. Нехай $~k=5$.
  5. Обчислімо $~r=g^{k}modp=5^{5}{\bmod {2}}3=20$.
  6. Знайдімо число $s\,\equiv \,(m-xr)k^{-1}{\pmod {p-1}}$. Таке $~s$ існує, тому що НСД ( k , p - 1) = 1. Отримуємо $~s=21$.
  7. Отже, ми підписали повідомлення: $~<baaqab,20,21>$.
• Перевірка справжності отриманого повідомлення.
  1. Обчислімо геш-функцію: $~h(M)=h(baaqab)=m=3$.
  2. Перевірмо рівність $~y^{r}\cdot r^{s}\equiv g^{m}{\pmod {p}}$.
  3. Обчислімо ліву частину по модулю 23: $~17^{20}\cdot 20^{21}{\bmod {2}}3=16\cdot 15{\bmod {2}}3=10$.
  4. Обчислімо праву частину по модулю 23: $~5^{3}{\bmod {2}}3=10$.
  5. Оскільки права і ліва частини рівні, то підпис справжній.

Головна перевага схеми цифрового підпису Ель-Гамаля — це можливість створювати цифрові підписи для великого числа повідомлень з використанням тільки одного секретного ключа. Для підробки підпису зловмиснику потрібно зробити складні математичні розрахунки з перебуванням логарифму в полі $\mathbb {Z} _{p}$.

Слід додати кілька коментарів:

• Випадкове число $~k$ необхідно знищувати одразу після обчислення підпису, оскільки якщо зловмисник знає випадкове число $~k$ і сам підпис, він легко може знайти секретний ключ за формулою: $~x=(m-ks)r^{-1}{\bmod {(}}p-1)$ і повністю підробити підпис.

Число $~k$ повинно бути випадковим і не повинно дублюватися для різних підписів, отриманих при однаковому значенні секретного ключа.

• Використання згортки $~m=h(M)$ пояснюється тим, що це захищає підпис від перебору повідомлень за відомими зловмисникові значеннями підпису. Приклад: якщо вибрати випадкові числа $~i,j$, що задовольняють умовам $~0<i<{p-1},0<j<{p-1}$, НОД (j,p-1)=1 і припустити що

  $~r=g^{i}\cdot y^{-j}{\bmod {p}}$

  $~s=r\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$

  $~m=r\cdot i\cdot j^{-1}{\bmod {(}}p-1)$,

то легко переконатися в тому, що пара $~(r,s)$ — це справжній цифровий підпис повідомлення $~x=M$.

• Цифровий підпис Ель-Гамаля став прикладом для побудови інших підписів, схожих за своїми властивостями. В їхній основі лежить рівність $~y^{A}\cdot r^{B}=g^{C}(modp)$, в якій трійка $~(A,B,C)$ набуває значення однієї з перестановок ± r, ± s і ± m при якомусь виборі знаків. Наприклад, вихідна схема Ель-Гамаля утворюється за $~A=r$,$~B=s$, $~C=m$. На такому принципі побудови підпису зроблено стандарти цифрового підпису США та Російської Федерації. В американському стандарті DSS (Digital Signature Standard) використовуються значення $~A=r$, $~B=-s$,$~C=m$, а в російському — $~A=-x$, $~B=-m$, $~C=s$.
• Наступна перевага — це можливість зменшити довжину підпису за допомогою заміни пари чисел $~(s,m)$ на пару чисел $~(s{\bmod {q}},m{\bmod {q}}$), де $~q$ — якийсь простий дільник числа $~(p-1)$. При цьому рівняння для перевірки підпису по модулю $~p$ потрібно замінити на нове рівняння по модулю $~q$: $(~y^{A}\cdot r^{B}){\bmod {p}}=g^{C}{\pmod {q}}$. Так зроблено в американському стандарті DSS (Digital Signature Standard).

Криптостійкість і особливості

Нині криптосистеми з відкритим ключем вважаються найперспективнішими. До них належить і схема Ель-Гамаля, криптостійкість якої засновано на обчислювальній складності проблеми дискретного логарифмування, де за відомими p , g та y потрібно обчислити x , що задовольняє рівнянню:

$~y\equiv g^{x}{\pmod {p}}.$

Існує велика кількість алгоритмів, заснованих на схемі Ель-Гамаля: це алгоритми DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.

Порівняння деяких алгоритмів:

Алгоритм	Ключ	Призначення	Крипостійкість, MIPS	Примітки
RSA	До 4096 біт	Шифрування і підпис	2,7•1028 для ключа завдовжки 1300 біт	Засновано на складності розв'язання проблеми факторизації великих чисел; один із перших асиметричних алгоритмів. Включено до багатьох стандартів.
ElGamal	До 4096 біт	Шифрування і підпис	За однакової довжини ключа криптостійкість дорівнює RSA, тобто 2,7•1028 для ключа завдовжки 1300 біт	Засновано на складності обчислення дискретних логарифмів у скінченному полі; дозволяє швидко генерувати ключі без зниження стійкості. Використовується в алгоритмі цифрового підпису DSA-стандарту DSS
DSA	До 1024 біт	Тільки підписування		Засновано на складності розв'язання проблеми дискретного логарифмування у скінченному полі; ухвалено як державний стандарт США; застосовується для секретних і несекретних комунікацій; розробник — АНБ.
ECDSA	До 4096 біт	Шифрування і підпис	Криптостійкість і швидкість роботи вище, ніж у RSA	Сучасний напрямок. Його розробляють багато провідних математиків.

Література

• Алфьоров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмін А.С., Черьомушкін А.В
• Б. А. Фороузан
• Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone