Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин
![{\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fa3525dc03edebe4ba5dc92c954e45aafd4e09)
Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною, але не є своїм елементом.
Інші формулювання аксіоми порожньої множини
[ред. | ред. код]
, що є
, що є
, що є
, що є
, що є
, що є
1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:
,
,
.
Крім того, аксіому порожньої множини можна вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:
![{\displaystyle ~\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8858388acdb290cfbc1585d17ee477fe07adca)
2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:
, що є ![{\displaystyle ~\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6d537e8a4b2807463e91a32ff510c2101e74e6)
Єдиність порожньої множини не суперечить «нескінченній множині» описів порожньої множини, включаючи наступні описи:
,
,
,
.
![{\displaystyle ~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbffe85f03c51b07dcd26be84d80fcd8cf7ac046)