Біцентричний многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Рівносторонній трикутник
Біцентричний дельтоїд
Біцентрична рівнобічна трапеція
Правильний п'ятикутник

У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.

Трикутники

[ред. | ред. код]

Кожен трикутник біцентричний[1]. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням

де x — відстань між центрами кіл[2]. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.

Біцентричні чотирикутники

[ред. | ред. код]

Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де , опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність

де x — відстань між їхніми центрами[2][3]. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса[4].

Многокутники з n > 4

[ред. | ред. код]

Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін n[5]. Для деяких n:

де і

Правильні многокутники

[ред. | ред. код]

Кожен правильний многокутник є біцентричним[2]. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).

Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:

Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень:

3
4
5
6
8
10

Отже, маємо такі десяткові наближення:

Поризм Понселе

[ред. | ред. код]
Докладніше: Поризм Понселе

Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік[6].

Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого кола[7].

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Gorini, Catherine A. (2009), The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing, с. 17, ISBN 9780816073894.
  2. а б в Reiman, István (2005), International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press, с. 170—171, ISBN 9781843312000.
  3. Davison, Charles (1915), Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited, с. 98.
  4. Dörrie, Heinrich (1965), 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications, с. 192, ISBN 9780486613482.
  5. Weisstein, Eric W. «Poncelet's Porism.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
  6. Flatto, Leopold (2009), Poncelet's Theorem, American Mathematical Society, ISBN 9780821886267.
  7. Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (1929), p. 94.

Посилання

[ред. | ред. код]