Кватерніони і повороти простору

Кватерніон $\ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$\ \mathbf {q} =(s,{\vec {v}}),\quad s=a,\quad {\vec {v}}=(b,c,d)$,

множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:

$\ \mathbf {q_{1}q_{2}} =(s_{1},{\vec {v_{1}}})(s_{2},{\vec {v_{2}}})=(s_{1}s_{2}-{\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}},\;\;s_{1}{\vec {v_{2}}}+s_{2}{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}).$

Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:

$\ {\vec {v_{1}}}\times {\vec {v_{2}}}={\mathbf {q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1}} \over 2}.$

Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі

Покажемо що результатом повороту вектора $\ {\vec {v}}$ на кут $\ \alpha$ відносно осі $\ {\vec {u}}$ (одиничний вектор) буде: $\mathbf {v} '=\mathbf {qvq^{-1}}$, де

$\mathbf {v} =(0,\;\;{\vec {v}})$ — чисто векторний кватерніон,

$\mathbf {u} =(0,\;\;{\vec {u}})$ — чисто векторний кватерніон,

$\mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2}},\;\;{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right),\qquad |\mathbf {q} |=1,\quad \mathbf {q^{-1}=\mathbf {q^{*}} } .$

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:

$\mathbf {q} =\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2}};$

$\mathbf {q^{-1}} =\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {u} \cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}.$

Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

$\ \mathbf {uvu} =({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}={\vec {v}}-2{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}).$

Обчислимо добуток:

$\mathbf {v} '=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\;\mathbf {v} \;\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-\mathbf {u} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)$

${\begin{matrix}\mathbf {v} '&=&-\mathbf {uvu} \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&\mathbf {v} \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&(\mathbf {uv-vu} )\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\\&=&(2{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}})\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&{\vec {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}&+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}})\\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})&+&{\vec {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})&+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})(1-\cos \alpha )&+&{\vec {v}}\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&+&({\vec {v}}-{\vec {u}}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}))\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}})\sin \alpha \\&=&{\vec {v}}_{\|}&+&{\vec {v}}_{\bot }\cos \alpha &+&({\vec {u}}\times {\vec {v}}_{\bot })\sin \alpha ,\end{matrix}}$

де ${\vec {v}}_{\|}$ та ${\vec {v}}_{\bot }$ компоненти вектора ${\vec {v}}$ паралельні і перпендикулярні до ${\vec {u}}$ відповідно:

• ${\vec {v}}={\vec {v}}_{\|}+{\vec {v}}_{\bot }$
• ${\vec {u}}\;\|\;{\vec {v}}_{\|}$
• ${\vec {u}}\;\bot \;{\vec {v}}_{\bot }.$

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.

Кількість операцій

Обчислення результату двох поворотів

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту $\mathbf {R=R_{2}R_{1}}$	9	27	18
Кватерніон $\mathbf {q=q_{2}q_{1}}$	4	16	12

Обчислення повороту точки

	Зберігання	Множення	Додавання
Матриця повороту $\mathbf {v'=Rv}$	9	9	6
Кватерніон $\mathbf {v'=qvq^{-1}}$	4	15	12

Матриця повороту

• Поворотові за допомогою одиничного кватерніона $\ \mathbf {q} =a+bi+cj+dk$ відповідає наступна матриця повороту

$\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1-2(c^{2}+d^{2})&2bc-2ad&2ac+2bd\\2ad+2bc&1-2(b^{2}+d^{2})&2cd-2ab\\2bd-2ac&2ab+2cd&1-2(b^{2}+c^{2})\\\end{pmatrix}}.$

• Якщо представимо кватерніон у вигляді $\mathbf {q} =\left(\cos {\frac {\alpha }{2}},\;\;{\vec {u}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\right),\quad {\vec {u}}=(x,y,z);$ тоді

$\mathbf {R} _{\vec {u}}(\alpha )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \alpha +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \alpha .$

Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.

Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):

$\mathbf {v} '=\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \alpha )+\mathbf {v} \cos \alpha +(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\sin \alpha .$

Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.