Кільце множин

Непорожня система множин ${\mathcal {R}}$ називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.

Тобто $\forall A,B\in {\mathcal {R}}$ виконується:

1. $A\cup B\in {\mathcal {R}}$
2. $A\cap B\in {\mathcal {R}}$

Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.

Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:

• операцій об'єднання та різниці множин:

1. $A\cup B\in {\mathcal {R}}$
2. $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$

• або операцій перетину та симетричної різниці множин (при даному визначенні кільце множин є алгебраїчним кільцем):

1. $A\cap B\in {\mathcal {R}}$
2. $A\triangle B\in {\mathcal {R}}$

Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:

• перше через друге:
  • $A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)$
  • $A\backslash B=A\triangle (A\cap B)$
• друге через перше:
  • $\ A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$
  • $A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Властивості

• $\emptyset \in {\mathcal {R}}$
• Виконується дистрибутивний закон:

$A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$

Поле множин

Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.

Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.

Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.

Сигма-алгебра

• Сигма-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів.
• Дельта-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.

Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).

Теорема Стоуна

• Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
• Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Сигма-алгебра

Джерела

• Кільце множин на PlanetMath [Архівовано 30 вересня 2007 у Wayback Machine.]