Нерівність Чебишова для сум чисел

Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}

і

b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n},

то

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

Аналогічно, якщо

a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}

і

b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \cdots \leqslant b_{n},

то

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

Доведення

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}\,

і

b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.\,

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}\,

\vdots \,

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}\,

одержуємо

n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geqslant (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n});

або, розділивши на $n^{2}$ :

{\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geqslant {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.

Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:

Якщо f(x) і g(x) — дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то

\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.\,