Нескінченний добуток

У математиці, для послідовності чисел $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ нескінченний добуток

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

визначається, як границя часткових добутків $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ при $n\to \infty$ . Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$ . Отже логарифм $\ln a_{n}\,$ визначений для всіх $n$ , за винятком скінченного числа значень, існування яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності $a_{n}$ додатні то виконується рівність:

\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},

у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого $n$ $a_{n}\geqslant 1$ , позначимо $p_{n}=a_{n}-1$ , тоді $a_{n}=p_{n}+1$ і $p_{n}\geqslant 0$ , звідки слідує нерівність:

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

яка показує, що нескінченний добуток $\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}$ збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$ .

У випадку $1>a_{n}>0$ для будь-якого $n$ збіжність нескінченного добутку $\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}$ також еквівалентна збіжності ряду $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$ . У загальному випадку збіжность рядів $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$ і $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}^{2}$ є достатньою умовою збіжності $\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

Приклади

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для $\pi$ , такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція $f$ , з коренями $\{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty$ , де точка 0 — корінь порядку $\lambda$ , може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

$f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$ ,

де $h$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа $p_{n}$ підібрані так, щоб ряд $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}$ сходився. При $p_{n}=0$ відповідна множнику номер $n$ експонента опускається (вважається рівною $\exp(0)=1$ ).

Приклади

Синус	$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$
Гамма-функція	$1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}$
Сигма-функція Вейєрштрасса	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {1}{2\omega ^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\omega }}z}$
Дзета-функція Рімана	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-p_{n}^{-z})}}$	де p_n — послідовність простих чисел.