Одинична гіпербола

Одиничну гіперболу позначено синім, її спряжену зеленим, асимптоти червоним.

В геометрії одинична гіпербола — це набір точок $(x,y)$ декартової площини, які задовольняють рівняння $x^{2}-y^{2}=1.$ У теорії невизначених ортогональних груп одинична гіпербола є основою для альтернативної радіальної довжини (довжина вектора від початку координат до точки$(x,y)$)

$r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.$

Одиничне коло $x^{2}+y^{2}=1$ повністю оточує свій центр, тоді як одиничну гіперболу $x^{2}-y^{2}=1$ для цього необхідно доповнити її спряженою $y^{2}-x^{2}=1$. Ця пара гіпербол має спільні асимптоти $y=x$ і $y=-x$. Коли мова йде про спряжену одиничну гіперболу, альтернативна радіальна довжина визначається як $r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.$

Одинична гіпербола є частковим випадком прямокутної гіперболи з конкретними орієнтацією, розташуванням і масштабом. Отже, її ексцентриситет може бути однозначно обчислений і дорівнює ${\sqrt {2}}.$

Одинична гіпербола знаходить застосування в задачах аналітичної геометрії, де коло доводиться замінити гіперболою. Яскравим прикладом є зображення простору-часу як псевдоевклідового простору, де асимптоти одиничної гіперболи утворюють світловий конус. Крім того, результатом вивчення Ґреґуаром де Сен-Венсаном площ гіперболічних секторів стали функція логаритмування та сучасна параметризація гіперболи площами секторів.

Коли розуміються поняття спряжених гіпербол і гіперболічних кутів, класичні комплексні числа, побудовані на понятті одиничного кола, можна замінити числами, побудованими на понятті одиничної гіперболи.

Асимптоти

Зазвичай асимптоти визначаються як лінії, що збігаються до кривої. В алгебраїчній геометрії і теорії алгебраїчних кривих існує інший підхід. Крива спочатку розглядається як крива деякої проєктивної площини в однорідних координатах. Тоді асимптоти – це лінії, котрі є дотичними до проєктивної кривої в нескінченній точці, таким чином зникає потреба в концепції відстані та збіжності. У стандартних однорідних координатах $(x:y:z)$ пряма на нескінченності задається рівнянням z = 0. Наприклад, К. Г. Гібсон писав:

Для стандартної прямокутної гіперболи $f=x^{2}-y^{2}-1$ у ℝ², відповідна проєктивна крива це $F=x^{2}-y^{2}-z^{2},$ що проходить через $z=0$ у точках $P=(1:1:0)$ і $Q=(1:-1:0)$. І $P$, і $Q$ прості на $F$ з дотичними $x+y=0$, $x-y=0$; таким чином ми отримуємо вже знайоме поняття асимптот.

Діаграма Мінковського

Діаграму Мінковського малюють у просторово-часовій площині, де простір обмежують лише одним виміром (у координатах $t$ та $x$). Як одиниці відстані і часу на такій площині використовують

• одиниці довжини по 30 сантиметрів і наносекунди
• астрономічні одиниці та інтервали 8 хвилин 20 секунд
• світлові роки й роки

У кожному із зазначених масштабів координат рух фотонів утворює світові лінії, що йдуть під кутом $45^{\circ }$ до кожної осі (кутовий коефіцієнт $\pm 1$). Герман Мінковський використовував для опису перетворень Лоренца п'ять елементів: одинична гіпербола, її спряжена гіпербола, її осі, діаметр та спряжений діаметр. Осі гіперболи є осями координат статичної системи відліку. Діаметр одиничної гіперболи відповідає системі відліку, що рухається зі стрімкістю $w$, де $\tanh w=y/x$, а $(x,y)$ — кінцева точка діаметра, що лежить на одиничній гіперболі. Спряжений діаметр є просторовою гіперплощиною одночасності (на якій лежать одночасні події) у системі відліку, що відповідає стрімкості a. Ця одинична гіпербола є калібрувальною гіперболою . Зазвичай у теорії відносності гіпербола з вертикальною віссю вважається основною:

Вісь часу йде від низу до верху графіка — формальність, прийнята Річардом Фейнманом у його знаменитих діаграмах. Просторові осі йдуть перпендикулярно до осі часу. Подія, що відповідає "тут і зараз", лежить у початку координат.

Домовленість малювати вісь часу вертикально закріпилася через Мінковського в 1908 році, а також була використана в ілюстрації на 48 сторінці книги Еддінгтона «Природа фізичного світу» (1928).

Параметризація

Гілки одиничної гіперболи утворюються точками $(\cosh a,\sinh a)$ і $(-\cosh a,-\sinh a)$ залежно від параметра гіперболічного кута $a$.

Почнімо з параметризації повернутої одиничної гіперболи $xy=1$ за допомогою експоненціальної функції: $(e^{t},\ e^{-t}).$

Ця гіпербола може бути приведена до традиційної одиничної гіперболи $x^{2}-y^{2}=1$ за допомогою лінійного відображення (повороту), що має матрицю $A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :$

$(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

Параметр $t$ називається гіперболічним кутом і є аргументом гіперболічних функцій.

Можна знайти ранню згадку параметризації одиничної гіперболи в "Елементи Динаміки" (1878) Вільяма Кліфорда. Він описує квазігармонійний рух по гіперболі наступним чином:

Рух $\rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )$ має деякі цікаві аналогії з еліптичним гармонійним рухом. ... Прискорення ${\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \$, отже, воно завжди пропорційне відстані від центру, як і в еліптичному гармонійному русі, але спрямоване від центру.

Як частковий випадок конічного перерізу, гіпербола може бути параметризована шляхом додавання точок на ній.

Зафіксуймо точку Е на гіперболі. Точки, в яких пряма, проведена через E паралельно AB, перетинає гіперболу вдруге, називатимемо сумою точок A і B .

Для гіперболи $x^{2}-y^{2}=1$ з фіксованою точкою $E=(1,0)$ сума точок $(x_{1},\ y_{1})$ і $(x_{2},\ y_{2})$ це точка $(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})$. У параметризації $x=\cosh \ t$ і $y=\sinh \ t$ це додавання відповідає додаванню параметра t.

Алгебра на комплексній площині

Тоді як одиничне коло має велике значення на комплексній площині, одинична гіпербола є ключовим поняттям для площини подвійних чисел, що мають вигляд $z=x+yj$, де $j^{2}=+1$. Легко показати, що $jz=y+xj$. Отже, дія $j$ на площину полягає в тому, щоб поміняти місцями координати. Зокрема, ця дія міняє місцями одиничну гіперболу та її спряжену, а також пари спряжених діаметрів гіпербол.

Усі точки гіперболи можна виразити через параметр гіперболічного кута $\alpha$ як

$\pm (\cosh \alpha +j\sinh \beta )$, де j = (0,1).

Права гілка одиничної гіперболи відповідає додатному коефіцієнту. Фактично ця гілка є образом експоненціального відображення, що діє на вісь j. Оскільки

$\exp(\alpha j)\exp(\beta j)=\exp((\alpha +\beta )j)$,

ця гілка є групою відносно множення. На відміну від групи, що утворює коло, група, що утворює одиничну гіперболу, не є компактною. Подібно до звичайної комплексної площини, точка не на діагоналях має полярний розклад за допомогою параметра гіперболічного кута $\alpha$ та альтернативної радіальної довжини $r$

$x+yj=r(\cosh \alpha +j\sinh \alpha )=r\cdot \exp(\alpha j)$

Наведені варіанти запису називають алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний відповідно.

Список літератури

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.