Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної , називається функція комплексної змінної , така що:
Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.
Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної , називається функція дійсної змінної, така що:
де — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.
Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:
Розрізняють -перетворення і -перетворення.
- -перетворення
Нехай — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу , де — ціле число, а — період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
- -перетворення
Якщо використати наведену заміну змінних:
,
одержимо Z-перетворення:
Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при , тобто існує границя
- ,
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для і — аналітична функція при ( — дійсна частина комплексної змінної ). Точна нижня грань множини чисел , при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції .
- Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:
- Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл
- Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл існує для кожного скінченного и для
- Випадок або (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції (похідна до ) для .
- Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа
1. Якщо — аналітична функція для і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому для
2. Нехай , так щоб аналітична відносно кожного і рівна нулю для , і , тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.
Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.
- Диференціювання і інтегрування оригіналу
Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:
Для похідної -го порядку:
Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
- Дифренціювання та інтегрування зображення
Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
- Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми
Запізнення зображень:
Запізнення оригіналів:
де — Функція Гевісайда.
Лінійність
Множення на число
Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій
[ред. | ред. код]
№ |
Функція |
Часова область |
Частотна область |
Область збіжності
|
1 |
ідеальне запізнення |
|
|
|
1a |
одиничний імпульс |
|
|
|
2 |
запізнення n-го порядку з частотним зсувом |
|
|
|
2a |
степенева n-го порядку |
|
|
|
2a.1 |
степенева q-го порядку |
|
|
|
2a.2 |
одинична функція |
|
|
|
2b |
одинична функція з запізненням |
|
|
|
2c |
«сходинка швидкості» |
|
|
|
2d |
n-го порядку з частотним зсувом |
|
|
|
2d.1 |
експоненційне затухання |
|
|
|
3 |
експоненційне наближення |
|
|
|
4 |
синус |
|
|
|
5 |
косинус |
|
|
|
6 |
гіперболічний синус |
|
|
|
7 |
гіперболічний косинус |
|
|
|
8 |
експоненційно затухаючий синус |
|
|
|
9 |
експоненційно затухаючий косинус |
|
|
|
10 |
корінь n-го порядку |
|
|
|
11 |
натуральний логарифм |
|
|
|
12 |
функція Бесселя першого роду порядку n |
|
|
|
13 |
модифікована функція Бесселя першого роду порядку n |
|
|
|
14 |
функція Бесселя другого роду нульового порядку |
|
|
|
15 |
модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку |
|
|
|
16 |
функція помилок |
|
|
|
Примітки до таблиці:
- — Функція Гевісайда.
- — дельта-функція.
- — гамма-функція.
- — стала Ейлера — Маскероні.
- , — дійсна змінна.
- — комплексна змінна.
- , , и — дійсні числа.
- — ціле число.
|
Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.
- Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
- Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
- Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
- Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
- Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
- Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.