Періодична послідовність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці періодична послідовність — це послідовність, у якій ті самі терми повторюються знову і знову:

a1, a2, ..., ap,  a1, a2, ..., ap,  a1, a2, ..., ap, ...

Кількість р повторюваних доданків називають періодом[1].

Визначення

[ред. | ред. код]

(Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a1, a2, a3, ..., у якій

an+p = an

для всіх значень n[1][2][3][4][5]. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом[1][6] або точним періодом[6]

Приклади

[ред. | ред. код]

Кожна стала функція є 1-періодичною[4].

Послідовність є періодичною з найменшим періодом 2[2].

Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче)[7]

Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:

Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі[джерело?].

Періодична точка для функції f : XX — точка x, орбіта якої

є періодичною послідовністю. Тут, означає n-разову композицію f, застосовану до x[6].  Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

Тотожності

[ред. | ред. код]

Часткові суми

[ред. | ред. код]
, де k і m<p — натуральні числа[джерело?].

Часткові добутки

[ред. | ред. код]
, де k і m<p — натуральні числа[джерело?].

Періодичні послідовності нулів і одиниць

[ред. | ред. код]

Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

 — період 1,
 — період 2,
 — період 3,
 — період .

Узагальнення

[ред. | ред. код]

Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

1/56 = 0. 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ... [джерело?]

Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову для деякого r і достатньо великого k[1].

Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x1х2х3, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a1a2a3, ... для якої

[4][8][9] 

Наприклад, послідовність

1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  4/5,  . . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... 

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в г Ultimately periodic sequence - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. 7 лютого 2011. Процитовано 13 серпня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)
  2. а б Weisstein, Eric W. Periodic Sequence. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
  3. Bosma, Wieb. Complexity of Periodic Sequences (PDF). www.math.ru.nl. Процитовано 13 серпня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)
  4. а б в Janglajew, Klara; Schmeidel, Ewa (14 листопада 2012). Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations. Advances in Difference Equations. 2012 (1): 195. doi:10.1186/1687-1847-2012-195. ISSN 1687-1847.
  5. Menezes, Alfred J.; Oorschot, Paul C. van; Vanstone, Scott A. (7 грудня 2018). Handbook of Applied Cryptography (англ.). CRC Press. ISBN 978-0-429-88132-9.
  6. а б в Weisstein, Eric W. Least Period. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.
  7. Hosch, William L. (1 червня 2018). Rational number. Encyclopedia Britannica (англ.). Процитовано 13 серпня 2021.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)
  8. Cheng, SuiSun (29 вересня 2017). New Developments in Difference Equations and Applications: Proceedings of the Third International Conference on Difference Equations (англ.). Routledge. ISBN 978-1-351-42880-4.
  9. Shlezinger, Nir; Todros, Koby (1 січня 2019). Performance analysis of LMS filters with non-Gaussian cyclostationary signals (PDF). Signal Processing (англ.). 154: 260—271. arXiv:1708.00635. doi:10.1016/j.sigpro.2018.08.008. ISSN 0165-1684.