Поліноми Кравчука ( М. П. Кравчук, 1929) належать до класичних ортогональних поліномів дискретної змінної на рівномірній сітці, для яких співвідношення ортогональності являє собою не інтеграл, а ряд або скінченну суму:
.
Тут
— вагова функція,
— квадратична норма,
. Для
вагова функція з точністю до постійного множника
зводиться до біноміального коефіцієнта.
Рекурентне співвідношення для цих поліномів має вигляд
.
Шляхом нескладних перетворень його можна привести до вигляду
,
де
Поліноми Кравчука можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію Гауса:
В границі при
поліноми Кравчука переходять у Поліноми Ерміта:
Перші чотири поліноми для найпростішого випадку
:
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e4fab68ce47f753c3ee998a8a57f43b9985489)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536ca6fba2207eef418d3a8d60263034c6861e48)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26224778c73f2d006daa7ab42b5ff0c9b3bda4c9)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe88c7cff24540e346e0333ea046a8ef81db708)
Звичайна породжуюча функція
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^{x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\mathcal {K}}_{k}(x;n,q){z^{k}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314e7ac2a37649b23d7a47fe71104684c2f01f3f)