Прямий круговий циліндр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Прямий круговий циліндр.

Прямий круговий циліндр — це циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Таким чином, у прямому круговому циліндрі твірна і висота мають однакові розміри[1]. Його також називають циліндром обертання, оскільки його можна отримати обертанням прямокутника зі сторінами і навколо однієї з його сторін. Закріпивши як сторону, навколо якої відбувається обертання, ми отримуємо, що сторона , перпендикулярна до , буде радіусом циліндра[2].

Окрім прямого кругового циліндра, існує також похилий круговий циліндр, який характеризується відсутністю твірних, перпендикулярних до основ[3].

Прикладами об’єктів, які мають форму правильного круглого циліндра, є деякі банки та свічки.

Елементи прямого кругового циліндра

[ред. | ред. код]

Основи: два паралельних і рівних кола[4];

Вісь: пряма, визначена двома центрами основ циліндра[1];

Висота: відстань між двома площинами основ циліндра[2];

Твірні (гератриси): відрізки, що паралельні осі і закінчуються в точках кіл основ[2].

Бічна площа та площа поверхні

[ред. | ред. код]
Зображення циліндра та розгортка його бічної поверхні.

Бічна поверхня прямого циліндра складається з твірних[3]. Її площу можна отримати шляхом добутку довжини кола основи на висоту циліндра. Отже, площа бічної поверхні визначається як:

  • [2].
  • – площа бічної поверхні циліндра;
  • становить приблизно 3,14;
  • – відстань між бічною поверхнею циліндра та віссю, тобто значення радіуса основи;
  • – висота циліндра;
  • — довжина кола основи, оскільки , тобто, [5].

Зауважте, що у випадку прямого кругового циліндра висота й твірна мають однакові розміри, тому бічна площа також може бути задана за формулою:

  • .

Площа основи циліндра дорівнює площі круга (в цьому випадку ми покладемо, що круг має радіус ):

  • .

Щоб обчислити загальну площу прямого кругового циліндра, потрібно просто додати площу бічної сторони до площі двох основ:

  • .

Заміна і , ми маємо:

або навіть

  • .

Об'єм

[ред. | ред. код]
Ілюстрація циліндра та призми з висотою . Зверніть увагу, що площа основи кожного тіла дорівнює .

Відповідно да принципа Кавальєрі, який визначає, що якщо два тіла однакової висоти з конгруентними площами основи розташованими на одній площині перетинає будь-яка інша площина, паралельна цій площині, вона утворює як перерізи два багатокутники з однаковими площами[6], тому об’єми двох тіл будуть однаковими. Використовуючи цей факт, можна визначити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра можна отримати так само, як об’єм призми з тією ж висотою і такою ж площею основи. Тому просто помножте площу основи на висоту:

  • .

Оскільки площа круга радіуса , який є основою циліндра, задається формулою , то з цього випливає, що:

  • [2]

або навіть

  • .

Рівносторонній циліндр

[ред. | ред. код]
Ілюстрація циліндра, описаного навколо сфери радіуса . Зверніть увагу, що циліндр рівносторонній.

Рівносторонній циліндр – це правильний круговий циліндр, у якого діаметр основи дорівнює висоті (твірній)[4].

Тоді, вважаючи, що радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює , маємо, що діаметр основи цього циліндра дорівнює а його висота становить [4].

Його бічну площу можна отримати, замінивши значення висоти на :

  • .

Аналогічним чином можна отримати результат для площі всієї поверхні:

  • .

Для рівностороннього циліндра можна отримати більш просту формулу для обчислення об’єму. Просто замініть висоту на подвоєний радіус у формулі об’єму прямого кругового циліндра:

  • .

Осьовий переріз

[ред. | ред. код]

Осьовий переріз – це перетин площини, що містить вісь циліндра, і циліндра[4].

У випадку прямого кругового циліндра осьовий переріз є прямокутником, оскільки твірна перпендикулярна до основи. Рівносторонній циліндр має квадратний осьовий переріз, оскільки його висота дорівнює діаметру основи[1] [4].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б в Giovanni; Giovanni Jr.; Bonjorno (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem.
  2. а б в г д Conexões com a matemática. 2010.
  3. а б Paiva (2004). Matemática.
  4. а б в г д Dolce; Pompeo (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica.
  5. Dolce; Pompeo (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana.
  6. Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (порт.) (вид. 2). São Paulo: Leya.

Бібліографія

[ред. | ред. код]
  • Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (in Portuguese) (2 ed.). São Paulo: Leya.
  • Conexões com a matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010.
  • Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana (in Portuguese) (9 ed.). São Paulo: Atual.
  • Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica (in Portuguese). São Paulo: Atual.
  • Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (in Portuguese). São Paulo: FTD.
  • Paiva, Manoel (2004). Matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna.