Рівняння Дірака для графену — модельне диференціальне рівняння, що наближено описує спектр збуджень у графені поблизу особливих точок зони Брілюена й має вигляд, схожий на рівняння Дірака[1]. Аналогічно тому, як рівняння Дірака має наслідком запровадження поняття спіну, елементарні збудження в графені характеризуються квантовим числом, яке називають квазіспіном.
Якщо врахувати тільки вклад найближчих сусідів у формування енергетичних зон, то гамільтоніан в наближенні сильного зв'язку для гексагональної ґратки приймає вигляд:
![{\displaystyle H=-t\sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{i\in \Lambda _{B}}\sum _{j=1}^{3}b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2548650d43a025a9fb3d2b45cfc8dd6a94ef6daf)
де
— інтеграл перекриття між хвильовими функціями найближчих сусідів, який визначає також ймовірність переходу («стрибка») між сусідніми атомами (атомами з різних підрешіток), оператори
та
оператори народження, які діють на трикутних підрешітках кристалу
та
відповідно,
та
— оператори знищення. Вони задовольняють звичайній антикомутаційним співвідношенням для ферміонів:
![{\displaystyle [a({\textbf {r}}_{i}),a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=\delta _{ii^{'}}.\qquad (1.2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45ad1027c0639db568008bfa9a79cdbcc471e94)
Шість векторів
та
вказують на найближчі вузли від вибранного центрального атому і задаються відношеннями
![{\displaystyle {\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\qquad (1.3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c076921d2a802242d4ca207047b4bea72dff64)
![{\displaystyle {\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right).\qquad (1.4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08896ee4ae8492e7d53d42d45531514a79bf8ac9)
Перетворення Фур'є операторів народження та знищення
![{\displaystyle a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d62ce9581433a366355f77fe4afb8bd03e5cc82)
де інтегрирування по хвильовим векторам проводиться з першої зони Бриллюена, дозволяє записати гамильтониан у вигляді
![{\displaystyle H=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}}){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b99fafd26f95ee3d6d3145917fc08097d46071)
де прийняті такі позначення:
![{\displaystyle {\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf {k}})\right)^{T},\,{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}^{\dagger }({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{\dagger }({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f7e3f90664dfd78a36710a4e82d5b28930e048)
та
![{\displaystyle {\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\\-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befbbafde4a9b5b6a54499420d567cf38b6406a9)
Вираз (1.6) можна отримати якщо підставити (1.5) в (1.1). Розглянемо суму
![{\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a608a564d14cbe3cbd118fa731ebdcb6bca573)
яку, використавши співвідношення (1.5) можна записати у вигляді
![{\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}^{'}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}),\qquad (1.10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932eb808c8e4646eaa5fb5d19f84ae75d82ebc24)
або
![{\displaystyle \int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}).\qquad (1.11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a6c39b43c2774b2a0b06abd21da04060b7d609)
Використавши співвідношення
![{\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{'}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1.12)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0010ed1bdc4340b4fd46649f97dd5102f4a4f898)
знаходимо після інтегрування по
вираз
![{\displaystyle \int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}).\qquad (1.13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0f1f0e6afd5be8a3e932d8f14322318adeb84d)
Аналогічне перетворення другої суми в гамільтоніані (1.1) приводить до бажаного результату (1.6).
Власне значення гамільтоніану (1.8) приймає значення
![{\displaystyle E=\pm t{\sqrt {\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\sum _{j^{'}=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j^{'}}}}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{-ik_{x}d}+2e^{ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{ik_{x}d}+2e^{-ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e014af7d4d71c182aab120cc6c96cbe77d0c28)
![{\displaystyle \pm t{\sqrt {\left(1+2e^{i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(1+2e^{-i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\right]}},\qquad (1.14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cec7ca7e31ede978559df693bd86174d64d9674)
яке визначає зонну структуру графена.[2]
Зони (1.14) з позитивною енергією (квазічастки - електрони) та з негативною енергією (квазічастки - дірки) перетинаються в шести точках, які називаються діраковськими точками, оскільки поблизу них енергетичний спектр приймає "лінійну" залежність від хвильового вектора. Координати цих точок рівні
![{\displaystyle \left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b6fbf0033983854737f1ea936639109d9a59bf)
Дві незалежні долини можна вибрати так, що вершини валентних зон будуть знаходитися в діраковських точах з координатами
![{\displaystyle {\textbf {K}}^{\pm }=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef17759d8b5ad36f0deb10e34ca07b0e464868f0)
Розглянемо недіагональний елемент
оператора Гамільтона (1.8). Разкладемо його поблизу точок Дірака (2.2) по малому параметру d
![{\displaystyle \lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}{\tilde {H}}_{12}|_{{\textbf {k}}={\textbf {K}}^{\pm }+{\boldsymbol {\kappa }}}=-t\lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa _{x}d}+2e^{i\kappa _{x}d/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}\left(\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54cfe1356911eb296db82b5d7ca9a78854cf417)
Для
розклад обчислюється аналогічним чином, тому в результаті можна записати гамільтоніан для квазічасток поблизу точок Дірака у вигляді
![{\displaystyle \left({\begin{array}{cc}H^{+}&0\\0&H^{-}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fa589621ea75cfc78fdefdad37a7ec0552b98d)
де швидкість Фермі
та
![{\displaystyle \alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\,\alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c565ffee46383e7102da3ec3704d0de1f6e80b)
Тут
та
— матриці Паулі.
Якщо тепер перейти до координатного представлення, зробивши фур'є перетворення гамільтоніану (2.4), то приходимо до гамільтоніану в рівнянні Дірака для квазічасток в графені
![{\displaystyle H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8a9378b84a3520cf1c44136ccfaba7f7e68427)
Розв'язком рівняння Дірака для графену
буде чотирьохкомпонентний стовбчик вигляду
![{\displaystyle \psi =(\psi _{A}^{+},\psi _{B}^{+},\psi _{A}^{-},\psi _{B}^{-})^{T},\qquad (2.7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2bb5c229524bc5213d151c0f3ffdbc095c3161)
де індекси
та
відповідають двом підрешіткам кристалу, а знаки «+» та «-» позначають нееквівалентні точки Дірака в k-просторі.[2]
Оскільки закон дисперсії не повинен залежати в низькоенергетичному наближенні від орієнтації кристаличної решітки відносно системи координат, а рівняння Дірака для графена не має такої властивості, то виникає питання про загальний вигляд рівняння Дірака при повертанні системи координат. Ясно, що єдина відмінність між рівняннями Дірака в заданій системі координат та поверненій на кут
системі координат, при умові збереження закону дисперсії, полягає в добавлянні фазових факторів. Обчислення приводять до гамильтоніану для вільних часток вигляду[3]
![{\displaystyle H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{\pm i\alpha }(i\partial _{x}\pm \partial _{y})\\e^{\mp i\alpha }(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4ad4d360e5d511ee3b7a01cee6bf9d264fe00b)
з якого можна отримати всі рівняння, котрі використовуються в літературі (при умові вибору протилежних K точок).
В літературі зустрічається гамильтоніан у вигляді[4]
![{\displaystyle H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d5b113b3a360d8af9da71e80e13b67d914ad8e)
який знаходиться з (3.1), коли кут повороту
.
Розглянемо оператор Гамільтона для однієї долини
![{\displaystyle H_{+}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddb4b80f9664afb9715e887dc2a62df9c0d1868)
Хвильова функція може буди подана у вигляді спінора, який складається з двох компонентів
![{\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994da7bdb1789dbcb3f20c81b829f665c6447daa)
Ця функція задовольняє наступному рівнянню для вільних часток
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x}}+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce62742b2c7ffe586ef272f956b015e32c5399c)
Підставляючи друге рівняння в перше, знаходимо хвильове рівняння
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba7ca1db63d5dd1973e0a223c1d6000e05e4654)
розв"язком якого буде плоска хвиля
![{\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0d3212bea536df00e1c45e9fc523ef905fc695)
Власні значення мають вигляд лінійного неперервного спектру
![{\displaystyle E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b77e522107337b942afbdf2fdc79a0d4b177ea0)
Другу компоненту хвильової функції легко знайти підставивши знайдений розв'язок в друге рівняння (4.3)
![{\displaystyle \chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}=-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e80080953ca78aebef02b90d9df8f067e3b91ab)
Таким чином, хвильова функція для
долини запишеться у вигляді
![{\displaystyle \Psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}\end{pmatrix}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad636569f389039dd1c9c2c32866599260794e6c)
- ↑ Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) DOI:10.1038/nature04233
- ↑ а б Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B 787, 241 (2007) DOI:10.1016/j.nuclphysb.2007.06.001 Препринт
- ↑ Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005) DOI:10.1143/JPSJ.74.777
- ↑ Gusynin V. P., et. al. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007) DOI:10.1142/S0217979207038022