Серія 1 + 1 + 1 + 1 + …

Ряд 1 + 1 + 1 + 1 + ... - розбіжний ряд, тобто без кінцевої суми за основним визначенням. Його часткові суми зростають до нескінченності. Його також можна зберегти як $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}.$

Якщо така серія з’являється під час аналізу фізичних явищ, її іноді можна інтерпретувати, застосовуючи регуляризацію дзета-функцією, тобто в цьому випадку вказуючи значення дзета-функції Рімана в точці $s=0$

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}.

Обидва вирази, наведені вище, не є «обчислювальними» для нульового значення, тому використовується аналітичне продовження дзета-функції Рімана

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).

Завдяки йому (знаючи це $\Gamma (1)=1$ ) ми отримуємо

\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\to 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\to 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+\dots \right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+\dots \right)=-{\frac {1}{2}},

де розкладання в степеневий ряд $\zeta (s)$ в навколишньому середовищі $s=1$ відбувається тому, що $\zeta (s)$ у ньому є один полюс із залишком, рівним 1. У цьому сенсі $1+1+1+1+\dots =\zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}$ ^[1] .