Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.
Права різниця — вираз виду:
![{\displaystyle \ \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dcde4c30f1e22c52c27ce0b50edf6b8bf56ab7)
Ліва різниця — вираз виду:
![{\displaystyle \ \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5df53195c0b979204dec652944be449fa62a8f1)
Центральна різниця — вираз виду:
![{\displaystyle \ \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {1}{2}}h)-f(x-{\tfrac {1}{2}}h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3cc934a893f3928f24f105215c2dad225c673a)
Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці
![{\displaystyle \ f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3e4c02c80b09a742f73fd0c1ca044acd5b7c52)
Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.
Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:
![{\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e277e83942289787c2baa50b5ac42fd4be74e13)
![{\displaystyle \ {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ef339cec03cfbb6e6d0e9c555f270fdcf311cb)
![{\displaystyle \ {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c95bde6081472105b48b7c906798af00b44e3a)
Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах
та
для апроксимації другої похідної
в точці x, отримаємо:
![{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b129472553d3c422bada897ce7d70bebb16878)
В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці n-того порядку виражаються формулами:
![{\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547d6a131754216ad9b7d3f0600ed388788fdb3c)
![{\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d02b454bc5bec308d6b40c4b1d6fd0e5177a6f)
![{\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd7b5b17a0cd910ace9cca88d7093843ccd6799)
Для непарних
, коефіцієнт перед
буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки
є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від
та
.
Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:
![{\displaystyle ={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b35a5f1012ed9524667c13affee16a3b21ef511)
Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:
![{\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9cddb870f225e7259dcbe96bacce30960cdb45)
апроксимує f'(x) з точністю до h2. Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.