Спорадична група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Спорадична група — одна з 26 виняткових груп у теоремі про класифікацію простих скінченних груп.

Проста група — це група G, що не містить будь-яких нормальних підгруп, відмінних від самої групи G і тривіальної (одиничної) підгрупи. Теорема класифікації стверджує, що список скінченних простих груп[en] складається з 18 зліченних нескінченних сімейств, плюс 26 винятків, які не потрапляють до цієї класифікації. Ці винятки називають спорадичними групами. Вони також відомі під назвами «спорадичні прості групи» або «спорадичні скінченні групи». Оскільки група Тітса[ru] не є строго групою лієвого типу, іноді її також вважають спорадичною[1] і в цьому випадку вона є 27-ою спорадичною групою.

Група Монстр — найбільша серед спорадичних груп і містить як підгрупи або підфактор-групи[en] всі, за винятком шести, інші спорадичні групи.

Назви спорадичних груп

[ред. | ред. код]

П'ять спорадичних груп виявив у 1860-х роках Матьє, решту 21 знайдено між 1965 і 1975 роками. Існування кількох із цих груп передбачено до їх побудови. Пізніше доведено, що цим остаточно завершено повний пошук. Більшість груп носять імена математиків, які першими передбачили їх існування.

Повний список груп:

Діаграма показує підфакторні зв'язки спорадичних груп.

Групу Тітса T іноді також вважають спорадичною групою (вона майже лієвого типу) і з цієї причини в деяких джерелах число спорадичних груп дається як 27, а не 26. За іншими джерелами групу Тітса не вважається ні спорадичною, ні групою Лієва типу.

Для всіх спорадичних груп побудовано матричні представлення над скінченними полями.

Найраніше вживання терміна «спорадична група» знайдено в Бернсайда[2], де він говорить про групи Матьє: «Ці, мабуть, прості спорадичні групи вимагають ретельнішого дослідження, ніж мали досі».

Діаграма праворуч ґрунтується на діаграмі Ронана[3]. Спорадичні групи також мають багато підгруп, які не є спорадичними, але на діаграмі вони відсутні через їх величезну кількість.

Система

[ред. | ред. код]

З 26 спорадичних груп 20 містяться всередині групи «Монстр» як підгрупи або підфактор-групи[en] .

I. Парії

[ред. | ред. код]

Шість винятків J1, J3, J4, O'N, Ru і Ly іноді називають паріями[en].

ІІ. Щаслива родина

[ред. | ред. код]

Решта двадцять груп називають Щасливою родиною (назву дав Роберт Ґріс[en]) і їх можна розбити на три покоління.

Перше покоління (5 груп) — групи Матьє

[ред. | ред. код]
Докладніше: Група Матьє

Групи Mn для n = 11, 12, 22, 23 та 24 є кратно-транзитивними групами перестановок n точок. Усі вони є підгрупами групи M24 яка є групою перестановок 24 точок.

Друге покоління (7 груп) — ґратка Ліча

[ред. | ред. код]

Всі підфактори[en] групи автоморфізмів ґратки в 24-вимірному просторі, яку називають ґраткою Ліча:

  • Co1 — фактор-група групи автоморфізмів за центром {±1}
  • Co2 — стабілізатор вектора типу 2 (тобто довжини 2)
  • Co3 — стабілізатор вектора типу 3 (тобто довжини √6)
  • Suz — група автоморфізмів, що зберігають структуру (модуль центра)
  • McL — стабілізатор трикутника типу 2-2-3
  • HS — стабілізатор трикутника типу 2-3-3
  • J2 — група автоморфізмів, що зберігають кватерніонну структуру (модуль за центром).

Третє покоління (8 груп) — інші підгрупи Монстра

[ред. | ред. код]

Складається з підгруп, тісно пов'язаних із Монстром M:

  • B або F2 має подвійне покриття, що є централізатором елемента порядку 2 в M
  • Fi24′ має потрійне покриття, що є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3A»)
  • Fi23 є підгрупою Fi24
  • Fi22 має подвійне покриття, яке є підгрупою Fi23
  • Добуток Th = F3 та групи порядку 3 є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3C»)
  • Добуток HN = F5 та групи порядку 5 є централізатором елемента порядку 5 в M
  • Добуток He = F7 і групи порядку 7 є централізатором елемента порядку 7 у M
  • Зрештою, вважають, що сам Монстр також належить до цього покоління.

(Ця серія продовжується і далі — добуток M12 та групи порядку 11 є централізатором елемента порядку 11 у M.)

Група Тітса[en] також належить до цього покоління — існує підгрупа , що нормалізує 2C2 підгрупу B, що породжує підгрупу , яка нормалізує деяку підгрупу Q8 Монстра. є також підгрупою груп Фішера Fi22, Fi23 і Fi24′ та «малого Монстра» B. є підгрупою групи-парії Рудваліса Ru і не має інших залежностей із простими спорадичними групами, крім перерахованих вище.

Таблиця порядків спорадичних груп

[ред. | ред. код]
Група Покоління Порядок (послідовність A001228 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) Значущих

цифр
Розклад Трійка
стандартных генераторів (a, b, ab)[4][5][6]
Інші умови
F1 або M третє 8080174247945128758864599049617107
57005754368000000000
≈ 8× 1053 246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71 2A, 3B, 29
F2 або B[en] третє 4154781481226426191177580544000000 ≈ 4× 1033 2C, 3A, 55
Fi24' або F3+[en] третє 1255205709190661721292800 ≈ 1× 1024 221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29 2A, 3E, 29
Fi23[en] третє 4089470473293004800 ≈ 4× 1018 218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23 2B, 3D, 28
Fi22[en] третє 64561751654400 ≈ 6× 1013 217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13 2A, 13, 11
F3 або Th[en] третє 90745943887872000 ≈ 9× 1016 215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31 2, 3A, 19
Ly[en] парія 51765179004000000 ≈ 5× 1016 28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67 2, 5A, 14
F5 або HN[en] третє 273030912000000 ≈ 3× 1014 214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19 2A, 3B, 22
Co1 друге 4157776806543360000 ≈ 4× 1018 221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 2B, 3C, 40
Co2[en] друге 42305421312000 ≈ 4× 1013 218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 5A, 28
Co3[en] друге 495766656000 ≈ 5× 1011 210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 7C, 17
O'N[en] парія 460815505920 ≈ 5× 1011 29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31 2A, 4A, 11
Suz[en] друге 448345497600 ≈ 4× 1011 213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13 2B, 3B, 13
Ru парія 145926144000 ≈ 1× 1011 214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29 2B, 4A, 13
F7 або He[en] третє 4030387200 ≈ 4× 109 210 • 33 • 52 • 73 • 17 2A, 7C, 17
McL[en] друге 898128000 ≈ 9× 108 27 • 36 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
HS[en] друге 44352000 ≈ 4× 107 29 • 32 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
J4[en] парія 86775571046077562880 ≈ 9× 1019 221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43 2A, 4A, 37
J3 або HJM[en] парія 50232960 ≈ 5× 107 27 • 35 • 5 • 17 • 19 2A, 3A, 19
J2 или HJ друге 604800 ≈ 6× 105 27 • 33 • 52 • 7 2B, 3B, 7
J1[en] парія 175560 ≈ 2× 105 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19 2, 3, 7
M24[en] перше 244823040 ≈ 2× 108 210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23 2B, 3A, 23
M23[en] перше 10200960 ≈ 1× 107 27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23 2, 4, 23
M22[en] перше 443520 ≈ 4× 105 27 • 32 • 5 • 7 • 11 2A, 4A, 11
M12[en] перше 95040 ≈ 1× 105 26 • 33 • 5 • 11 2B, 3B, 11
M11[en] перше 7920 ≈ 8× 103 24 • 32 • 5 • 11 2, 4, 11

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Наприклад, згідно з Конвеєм.
  2. Burnside, 1911, с. 504, note N.
  3. Ronan, 2006.
  4. Wilson RA (1998). An Atlas of Sporadic Group Representations (PDF). Архів (PDF) оригіналу за 4 січня 2018. Процитовано 7 січня 2018.
  5. Nickerson SJ, Wilson RA (2000). Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups.
  6. Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN (1999). Atlas: Sporadic Groups. Архів оригіналу за 8 січня 2012. Процитовано 7 січня 2018.

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]