Стодвадцятикомірник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Стодвадцятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) стодвадцятикомірника в тривимірний простір
Тип Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі {5,3,3}
Комірок 120
Граней 720
Ребер 1200
Вершин 600
Вершинна фігура Правильний тетраедр
Двоїстий політоп Шестисоткомірник
Розгортка

Пра́вильний стодвадцятикомі́рник, або просто стодвадцятикомі́рник[1] — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Відомий також під іншими назвами: гекатонікосахор (від дав.-гр. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцять» і χώρος — «місце, простір»), гіпердодекае́др (оскільки є чотиривимірним аналогом додекаедра), додекаплекс (тобто «комплекс додекаедрів»), полідодека́едр. Двоїстий шестисоткомірнику.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років[2]. Символ Шлефлі стодвадцятикомірника — {5,3,3}.

Усі 9 його зірчастих форм — правильні зірчасті багатокомірники. З 10 правильних зірчастих багатокомірників лише один не є зірчастою формою стодвадцятикомірника.

Обмежений 120 тривимірними комірками — однаковими додекаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює рівно .

Його 720 двовимірних граней — однакові правильні п'ятикутники. Кожна грань відокремлює 2 комірки, що прилягають до неї.

Має 1200 ребер однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 600 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней та по 4 комірки.

В координатах

[ред. | ред. код]

Стодвадцятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:

  • координати 24 його вершин були різноманітними перестановками чисел
  • координати 64 вершин — різноманітними перестановками
  • координати 64 вершин — різноманітними перестановками де  — відношення золотого перетину;
  • координати 64 вершин — різноманітними перестановками
  • координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками
  • координати решти 192 вершин — різноманітними парними перестановками

Початок координат буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його вписаної, описаної та напівуписаних тривимірних гіперсфер.

Проєкція обертового стодвадцятикомірника в тривимірний простір

[ред. | ред. код]
Вигляд зовні
Вигляд зсередини

Ортогональні проєкції на площину

[ред. | ред. код]

Метричні характеристики

[ред. | ред. код]

Якщо стодвадцятикомірник має ребро довжини то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах)

радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

радіус уписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах)

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Д. К. Бобылёв. Четырехмерное пространство // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)
  2. George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Glossary for Hyperspace.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Weisstein, Eric W. Стодвадцятикомірник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Побудова стодвадцятикомірника на YouTube
  • Главы 3 и 4: Четвертое измерение. Dimensions (російською) . dimensions-math.org. Архів оригіналу за 4 березня 2015.