Теорема Вієта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

[ред. | ред. код]

Якщо  — корені многочлена (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

Іншими словами дорівнює сумі всіх можливих -добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена , то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на .

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

[ред. | ред. код]

Доведення використовує рівність

.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

[ред. | ред. код]
.
  • В частковому випадку при (квадратне рівняння ), то
.

  • Якщо корені кубічного рівняння то
.
  • В частковому випадку (кубічне рівняння ), то
.

.
  • В частковому випадку (рівняння ), то
.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1968. — 331 с.