Теорема Ферма про суму двох квадратів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Ферма про суму двох квадратів в теорії чисел стверджує, що непарне просте число p є сумою двох квадратів

де x і yцілі числа, тоді і тільки тоді, коли

Наприклад, прості числа 5, 13, 17, 29, 37 і 41 рівні 1 за модулем 4, тому вони рівні сумі квадратів:

Натомість прості числа 3, 7, 11, 19, 23 і 31 рівні 3 за модулем 4 і жодне з них не рівне сумі квадратів цілих чисел.

Доведення

[ред. | ред. код]

Оскільки для довільного парного числа його квадрат а для довільного непарного відповідно то сума квадратів двох цілих чисел за модулем 4 має бути рівною 0, 1 або 2. Відповідно жодне число рівне 3 за модулем 4 (зокрема і таке просте число) не може бути сумою двох квадратів цілих чисел.

Доведення того, що просте число є сумою двох квадратів є складнішим. Наразі відомо досить багато доведень перше з яких опублікував Ейлер.

Перше доведення

[ред. | ред. код]

Дане доведення вперше дав норвезький математик Аксель Туе.

Основою цього доведення є лема: якщо є додатним цілим числом і — ціле число, взаємно просте із , то існують такі цілі числа для яких або або Зокрема, як наслідок є дільником числа

Для доведення цього факту розглянемо усі числа для . Загалом цих чисел є а тому хоча б два із них є рівними за модулем . Нехай це числа і Очевидно і і можна вибрати позначення так, що

Тоді Якщо позначити і то числа задовольняють умови леми.

Згідно теореми Вілсона Якщо то для маємо і тому

Відповідно, якщо позначити , то є дільником числа Числа і є взаємно простими, а тому згідно леми існують числа для яких є дільником числа

Оскільки і , то також Але з випливає, що і тому

Друге доведення

[ред. | ред. код]

Це доведення дане Ріхардом Дедекіндом використовує поняття Гаусових чисел і ідеї комутативної алгебри і алгебричної теорії чисел.

Гаусовими числами називаються комплексні числа виду , де Якщо ввести норму числа як то із цією нормою гаусові числа утворюють евклідове кільце. Тому, як і довільне евклідове кільце, воно є кільцем головних ідеалів, а тому і факторіальним кільцем. Тобто кожне гаусове число записується як добуток незвідних елементів і кожен незвідний елемент є простим і навпаки.

Якщо , то як і у попередньому доведенні існує ціле число для якого ділиться на (наприклад , де ). У кільці гаусових чисел тоді елемент ділить , що є добутком елементів і . Проте не ділить жоден із цих множників оскільки елемент уявна частина якого є рівною не є гаусовим числом. Відповідно у кільці гаусових чисел не є простим елементом і тому не є незвідним. Тобто існують незвідні елементи добуток яких є рівним . Норма усіх цих елементів є більшою, ніж 1 і добуток норм має дорівнювати Єдиний варіант при якому це можливо, якщо і Якщо тепер то що і дає розклад як суми двох квадратів.

Також у цьому випадку Якщо також є іншим записом числа як суми квадратів, тоді є іншим записом через незвідні елементи. Але із теорії факторіальних кілець тоді випливає, що або У будь-якому випадку тоді і запис як суми двох квадратів є єдино можливим.

Третє доведення

[ред. | ред. код]

Коротке доведення теореми, сформульоване одним реченням дав німецький математик Дон Цагір.

Якщо є простим числом і позначаючи скінченну підмножину множини трійок натуральних чисел, на існують дві інволюції. Простіша визначається як , Усі її можливі її нерухомі точки виглядають як і дають розклади як суму двох квадратів. Відповідно для доведення теореми достатньо довести наявність хоча б однієї такої нерухомої точки.

Інша інволюція множини записується як:

Її єдиною нерухомою точкою є . Оскільки всі інші точки розбиваються на пари, елементи яких переводяться один в інший під дією інволюції, то потужність множини є непарним числом. Але під дією будь-якої інволюції на скінченній множині елементи множини діляться на пари, елементи яких переводяться один в інший і нерухомі точки. Оскільки множина має непарну кількість елементів, то будь-яка інволюція має хоча б одну нерухому точку. Зокрема для стандартної інволюції існує деяка нерухома точка і тоді

Твердження для довільних натуральних чисел

[ред. | ред. код]

Числа і є рівними сумі двох квадратів. Також із тотожності Брамагупти:

випливає, що якщо два числа можна записати як суму квадратів, то і їх добуток буде сумою квадратів.

Послідовно використовуючи цю властивість одержується, що будь-яке число простими дільниками якого є число 2 і всі непарні прості числа може бути записане як сума квадратів.

Також якщо , то для довільного цілого числа : , звідси зокрема будь-яке ціле число у розкладі якого на прості множники, прості числа виду присутні із парними степенями теж може бути записане як сума двох квадратів.

Нехай тепер є простим числом і Тоді також і відповідно також Справді в іншому випадку числа і є взаємно простими із і Тоді згідно малої теореми Ферма:

що є неможливим.

Відповідно якщо таке просте число є дільником числа тоді також і Звідси, як наслідок Тому якщо деяке число ділиться на але не воно не є сумою двох квадратів.

Аналогічно, якщо і , де і не ділиться на , то як і вище і і якщо і , то також

Продовжуючи цей процес отримуємо після k кроків: що згідно попереднього є неможливим. Отже і число не є сумою двох квадратів.

Остаточно твердження теореми для всіх цілих чисел є таким: число є рівним сумі квадратів двох цілих чисел тоді і тільки тоді коли у розкладі числа на прості множники, прості числа виду входять із парними степенями.

Література

[ред. | ред. код]