Народилася Тіяна Бошкович в місті Требинє в південно-східній частині Боснії і Герцеговини, за 27 км від курортного хорватського міста Дубровник.
У десятирічному віці переїжджає до міста Білеча та розпочинає волейбольну кар'єру в молодіжній групі клубу «Герцеговаць», звідки у 2010 році потрапляє в основний склад команди та грає в чемпіонаті Боснії та Герцеговини протягом 2010 року.
У 16-річному віці Тіяна переїжджає до Сербії, де стає гравцем белградської команди «Партизан Візура» та допомагає команді стати чемпіоном країни. Після прийняття сербського громадянства, входить до складу національної збірної з волейболу і в 17-річному віці потрапляє на чемпіонат світу в Італії. За нетривалий час Тіяна Бошкович стає дворазовою чемпіонкою Сербії, чемпіонкою молодіжної першості в Європі та Сербії (за це отримує Суперкубок Сербії у 2014 році та 2015 році).
У травні 2015 року спортсменка підписала контракт на чотири роки зі стамбульською командою «Еджзаджибаши». Після переходу до турецького клубу Бошкович досягла значних результатів на міжнародних змаганнях: бронзова медаль на чемпіонаті Європи в Бельгії та Нідерландах і срібло на Кубку світу в Японії, віддавши перемогу китаянкам.