Формалізм Джонса

Формалізм Джонса — математичний апарат для аналізу поляризації світлової хвилі, в якому поляризація задається так званими векторами Джонса, а лінійні оптичні елементи — матрицями Джонса. Формалізм запропонував 1941 року Роберт Кларк Джонс. Формалізм Джонса застосовний для повністю поляризованого світла, для неполяризованого або частково поляризованого світла потрібно використовувати формалізм Мюллера.

Вектор Джонса

Вектор Джонса описує поляризацію світла в пустоті або іншому однорідному ізотропному середовищі за відсутності поглинання, там де світло можна описати поперечною електромагнітною хвилею. Нехай монохроматична плоска хвиля поширюється в позитивному напрямку вздовж осі z і має циклічну частоту ω та хвильовий вектор k = (0,0,k), де хвильове число k = ω/c. Тоді електричне та магнітне поля E та H ортогональні до k в кожній точці; тобто лежать у площині, поперечній відносно напрямку руху. Більш того, H визначається з E поворотом на 90 градусів та множенням на певний коефіцієнт, що залежить від системи одиниць та хвильового імпедансу середовища. Тому при вивченні поляризації достатньо зосередитися на E. Комплексна амплітуда E записується

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}$.

Фізичне значення E визначається дійсною частиною цього вектора, а комплексний множник описує фазу хвилі.

Тоді вектор Джонса визначається як:

${\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.$

Отже вектор Джонса зберігає інформацію про амплітуду та фазу x та y компонент поля.

Сума квадратів абсолютних значень двох компонент вектора Джонса пропорційна інтенсивності світла. Зазвичай її нормують на одиницю в тій точці, звідки починається розрахунок. Зазвичай, також, першу компоненту вектора Джонса покладають дійсним числом. Так відкидається інформація про спільну фазу, яка, втім, потрібна для розрахунку інтерференції з іншими пучками.

Вектори та матриці Джонса означені так, що фаза хвилі задається $\phi =kz-\omega t$. При такому означенні збільшення $\phi _{x}$ (або $\phi _{y}$) відповідає відставання за фазою, а зменшення — опередженню. Наприклад, компонента вектора Джонса $i$ ($=e^{i\pi /2}$) вказує на відставання на $\pi /2$ (або 90 градусів) у порівнянні з 1. Застосовуються й інша конвенція ($\phi =\omega t-kz$), що вимагає уважності читача.

Наступна таблиця наводить 6 популярних прикладів вектора Джонса

Поляризація світла	Вектор Джонса	Типове кет-позначення
Лінійно поляризоване по x звична назва — горизонтальна	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$|H\rangle$
Лінійно поляризоване по y звична назва — вертикальна	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$|V\rangle$
Лінійно поляризоване під кутом 45° до осі x звична назва — діагональна L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )$
Лінійно поляризоване під кутом −45° до осі x звична назва — антидіагональна L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )$
Кругова поляризація проти годинникової стрілки звична назва — RCP або RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )$
Кругова поляризація за годинниковою стрілкою звична назва — LCP або LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )$

Загалом будь-який вектор можна записати в кет-нотації як $|\psi \rangle$. Застосовуючи сферу Пуанкаре (відому також як сфера Блоха), базові кет вектори ($|0\rangle$ та $|1\rangle$) повинні позначати протилежні кет-вектори з перерахованих пар. Наприклад, можна позначити $|0\rangle$ = $|H\rangle$ та $|1\rangle$ = $|V\rangle$. Вибір тут довільний. Протилежні пари:

• $|H\rangle$ та $|V\rangle$
• $|D\rangle$ та $|A\rangle$
• $|R\rangle$ та $|L\rangle$

Будь-яку поляризацію, що не збігається з $|R\rangle$ або $|L\rangle$ і не належить колу, що проходить через $|H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle$, називають еліптичною.

Матриці Джонса

Матрицями Джонса називають оператори, що діють на вектори Джонса. Їх визначають для різних оптичних елементів: лінз, дільників пучків, дзеркал тощо. Кожна матриця є проєкцією на одновимірний комплексний простір векторів Джонса. В наступній таблиці наведено приклади матриць Джонса для поляризаторів:

Оптичний елемент	Матриця Джонса
Лінійний поляризатор з горизонтальною віссю пропускання	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Лінійний поляризатор з вертикальною віссю пропускання	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Лінійний поляризатор з віссю пропускання під кутом ±45° до горизонтальної	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Правозакручений круговий поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Лівозакручений круговий поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Маніпулювання фазою

Фазові перетворювачі вносять зміну в різницю фаз між вертикальною та горизонтальною поляризаціями, управляючи так поляризацією пучка. Зазвичай їх виготовляють з одновісних кристалів із подвійним променезаломленням, таких як кальцит, MgF₂ або кварц. Одновісні кристали мають одну з кристалічних осей, відмінну від двох інших (тобто, n_i ≠ n_j = n_k). Цю вісь називають незвичайною або оптичною. Оптична вісь може бути швидкою або повільною, залежно від кристалу. Світло поширюється з найвищою фазовою швидкість уздовж осі з найменшим показником заломлення, і цю вісь називають швидкою. Аналогічно, вісь із найбільшим показником заломлення називається повільною. «Негативні» одновісні кристали (наприклад, кальцит CaCO₃, сапфір Al₂O₃) мають n_e < n_o, тож для цих кристалів незвичайна (оптична) вісь є швидкою, тоді як «позитивні» одновісні кристали (наприклад, кварц SiO₂, фторид магнію MgF₂, рутил TiO₂) мають n_e > n _o, і незвичайна вісь у них є повільною.

Перетворювач фази з швидкою віссю, що збігається з осями x або y, має нульові недіагональні члени, а тому його можна відобразити матрицею

${\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}$

де $\phi _{x}$ та $\phi _{y}$ — фази електричного поля в напрямках $x$ та $y$, відповідно. У цій конвенції $\phi =kz-\omega t$ задає відносну фазу між двома хвилями як $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$. Тоді додатне значення $\epsilon$ (тобто $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$) означає, що $E_{y}$ не матиме те ж значення, що $E_{x}$ ще деякий час, тобто $E_{x}$ веде $E_{y}$. Аналогічно, якщо $\epsilon <0$, то $E_{y}$ веде $E_{x}$. Наприклад, якщо швидка вісь чвертьхвильової пластинки горизонтальна, фазова швидкість горизонтальної поляризації буде опереджати фазову швидкість вертикальної поляризації, тобто $E_{x}$ веде $E_{y}$. Тож $\phi _{x}<\phi _{y}$, що для чвертьхвильової пластинки дає $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$.

Альтернативна конвенція для фази: $\phi =\omega t-kz$, визначає відносну фазу як $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$. Тоді $\epsilon >0$ означає, що $E_{y}$ ще деякий час не матиме того ж значення, що $E_{x}$, тобто $E_{x}$ опереджає $E_{y}$.

Елемент	Матриця Джонса
чвертьхвильова пластинка з вертикальною швидкою віссю	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка з горизонтальною швидкою віссю	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом $\theta$ до горизонтальної осі	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом $\theta$ до горизонтальної осі	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Довільний матеріал з подвійним заломленням (як фазовий перетворювач)	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$