Фізичний маятник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Фізичний маятник.
 — вісь підвісу;
 — реакція осі підвісу;
 — центр ваги;
 — центр гойдання;
 — зведена довжина;
 — кут відхилення маятника від рівноваги;
 — початковий кут відхилення маятника;
 — маса маятника;
 — відстань від точки підвісу до центру ваги маятника;
 — прискорення вільного падіння.

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Основні характеристики

[ред. | ред. код]

Період коливань фізичного маятника визначається формулою:

,

де I — момент інерції, m — маса, d — віддаль від центра маси тіла до осі, g — прискорення вільного падіння.

Зведена довжина фізичного маятника — довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

.

Диференціальне рівняння руху фізичного маятника

[ред. | ред. код]

Момент інерції відносно осі, що проходить через точку підвісу за теоремою Штейнера:

де  — момент інерції відносно осі проходить через центр ваги;
 — ефективний радіус інерції відносно осі, що проходить через центр ваги.

Динамічне рівняння довільного обертання твердого тіла:

де  — сумарний момент сил, що діють на тіло відносно осі обертання.
де  — момент сил, викликаний силою тяжіння;
 — момент сил, викликаний силами тертя середовища.

Момент викликаний силою тяжіння залежить від кута відхилення тіла від положення рівноваги:

Якщо знехтувати опором середовища, диференціальне рівняння коливань фізичного маятника в полі сили тяжіння:

.

Якщо розділити обидві частини рівняння на і покласти то рівняння буде:

Таке рівняння аналогічне рівнянню коливань математичного маятника довжини . Величину називають зведеною довжиною фізичного маятника.

Центр гойдання фізичного маятника

[ред. | ред. код]

Центр гойдання — точка, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб його період коливань не змінився.

Помістимо на промені, що проходить від точки підвісу через центр ваги, точку на відстані від точки підвісу. Ця точка і буде центром гойдання маятника.

Дійсно, якщо всю масу зосередити в центрі гойдання, то центр гойдання буде збігатися з центром ваги. Тоді момент інерції відносно осі підвісу дорівнюватиме , а момент сили тяжіння відносно тієї ж осі . При цьому рівняння руху не зміниться.

Теорема Гюйгенса

[ред. | ред. код]

Формулювання

[ред. | ред. код]

Якщо фізичний маятник підвісити за центр гойдання, то його період коливань не зміниться, а колишня точка підвісу зробиться новим центром гойдання.

Доведення

[ред. | ред. код]

Обчислимо зведену довжину нового маятника:

.

Збіг зведених довжин для двох випадків і доводить твердження теореми.

Період коливань фізичного маятника

[ред. | ред. код]

Для того, щоб знайти період коливань фізичного маятника, необхідно розв'язати рівняння гойдання.

Для цього помножимо ліву і праву частини цього рівняння на . Тоді:

.

Інтегруючи це рівняння, отримуємо:

,
де  — довільна стала.

Її можна знайти з граничної умови, що в моменти . Маємо:

Підставляємо і перетворюємо отримане рівняння:

Відокремлюємо змінні й інтегруємо це рівняння:

Зручно зробити заміну змінної . Тоді шукане рівняння набуде вигляду:

Тут  — нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Для періоду коливань отримуємо формулу:

Тут  — повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Розкладаючи його в ряд, можна отримати зручну для практичних обчислень формулу:

Період малих коливань фізичного маятника

[ред. | ред. код]

Якщо  — випадок малих максимальних кутових відхилень від рівноваги, то оскільки розклад синуса в ряд Маклорена і рівняння руху переходить у рівняння гармонійного осцилятора без тертя:

Період коливань маятника в цьому випадку:

В іншому формулюванні: якщо амплітуда коливань мала, то корінь у знаменнику еліптичного інтеграла наближено дорівнює одиниці. Такий інтеграл легко береться, і виходить добре відома формула малих коливань:

Ця формула дає результати прийнятної точності (помилка менш 1 %) при кутах, що не перевищують 4°.

Наступний порядок наближення можна використовувати з прийнятною точністю (помилка менше 1 %) при кутах відхилення до 1 радіана (≈57°):

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]