4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.
У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:
![{\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5d920cb93c389b41eb18b6e08879eeb5de7abf)
При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом[1]
,
де
— матриця повороту,
— обернена їй.
Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.
Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора
, наприклад для 4-тензора другого рангу
![{\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03c2c7c4388b10b3ad21f89857ecfa935ae03bb)
Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.
Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.
4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу[2]:
.
4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:
![{\displaystyle F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\-E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\-E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9d57e45bb30cd4fb19c34061b2d61f256dbd59)
![{\displaystyle F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-H_{z}&H_{y}\\E_{y}&H_{z}&0&-H_{x}\\E_{z}&-H_{y}&H_{x}&0\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e9a7c06d9b3db766d2bac5bf8a19e867ef73b6)
Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.
Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду
,
де
— 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.
Тривимірні тензори всередині чотиривимірних
[ред. | ред. код]
Якщо робити обчислення компонент тензора в довільній рухомій системі координат, про яку було сказано в попередньому пункті, то важко буде порівнювати результати з експериментом, адже зручно розглядати лише інерційні системи координат, або близькі до інерційних (згідно з принципом еквівалентності гравітація еквівалентна силам інерції, тому в умовах сильного гравітаційного поля глобальної інерційної системи не існує).
У цій приблизно інерційній системі координат вісь часу сприймається окремо від простору, і ми можемо розглядати такі заміни координат (наприклад перехід від прямокутної декартової у сферичну систему координат), де час
залишається незмінним, а просторові координати однієї системи
виражаються через просторові координати іншої, і не залежать від часу:
![{\displaystyle (4)\qquad {\hat {x}}^{0}=x^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9391b242635b9923b8caed2fc301ed95fc4e83d9)
![{\displaystyle {\hat {x}}^{1}={\hat {x}}^{1}(x^{1},x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1df45264fd9b3a252f78a97e460e026c16c80d5)
![{\displaystyle {\hat {x}}^{2}={\hat {x}}^{2}(x^{1},x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a9c590697ee7ce1447e177dcd24ff05ddd373)
![{\displaystyle {\hat {x}}^{3}={\hat {x}}^{3}(x^{1},x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f946e174fcbb2f13cc7ec34b2757e8f8f3093b3)
матриці переходу між такими системами координат мають блочно-діагональний вигляд, а саме:
![{\displaystyle (5)\qquad (\alpha _{j}^{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\alpha _{1}^{1}&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{1}^{3}\\0&\alpha _{2}^{1}&\alpha _{2}^{2}&\alpha _{2}^{3}\\0&\alpha _{3}^{1}&\alpha _{3}^{2}&\alpha _{3}^{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71063bd9e5496cc77ed6ca63e905ed1c221481c)
![{\displaystyle (5a)\qquad (\beta _{j}^{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\beta _{1}^{1}&\beta _{1}^{2}&\beta _{1}^{3}\\0&\beta _{2}^{1}&\beta _{2}^{2}&\beta _{2}^{3}\\0&\beta _{3}^{1}&\beta _{3}^{2}&\beta _{3}^{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c26e5f660b2b5f5f291810268b2d715b19eebd)
дійсно, із першого рівняння (4) маємо:
![{\displaystyle (6)\qquad \alpha _{0}^{0}={\partial {\hat {x}}^{0} \over \partial x^{0}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82b16fdb8a0807e6b29581dc62ff4859776ac76)
![{\displaystyle (7)\qquad \alpha _{i}^{0}={\partial {\hat {x}}^{0} \over \partial x^{i}}{\big |}_{x^{0}=const}=0,\qquad (i=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9529b4ff2c8958952c1c029edcb6a7592f13f5)
а з решти трьох рівнянь (4) маємо:
![{\displaystyle (8)\qquad \alpha _{0}^{i}={\partial {\hat {x}}^{i} \over \partial x^{0}}=0,\qquad (i=1,2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2166c96634ef399a7d2effb64b3efb4aeecb099d)
Такі ж міркування справедливі і для оберненої матриці
, якщо врахувати, що система рівнянь, обернена до (4) має точно такий самий вигляд.
Поділ компонент чотиривимірних тензорів на групи
[ред. | ред. код]
Розглянемо для прикладу тензор третього рангу
. Поглянемо, як змінюється його нульова компонента
при заміні просторових координат (4):
![{\displaystyle (9)\qquad {\hat {T}}^{000}=\sum _{i,j,k=0}^{3}\alpha _{i}^{0}\alpha _{j}^{0}\alpha _{k}^{0}T^{ijk}=\alpha _{0}^{0}\alpha _{0}^{0}\alpha _{0}^{0}T^{000}=T^{000}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80c6150810846c851bb71d39358fc476014e208)
в цих перетвореннях ми врахували спочатку формулу (8) (при
) чим відсіяли нульові доданки, а потім фомулу (6).
Як бачимо з формули (9), нульова компонента довільного тензора залишається незмінною при перетвореннях (4), тобто є тривимірним скаляром. Тепер звернемося до компонент тензора
з одним "просторовим" індексом
:
![{\displaystyle (10)\qquad {\hat {T}}^{00i}=\sum _{p,q,j=0}^{3}\alpha _{p}^{0}\alpha _{q}^{0}\alpha _{j}^{i}T^{pqj}=\alpha _{j}^{i}T^{00j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aff03a50b7422b5951675437d2512456111deee)
тобто ця сукупність компонент 4-тензора поводиться як тривимірний вектор. Також тривимірним вектором буде
, цей вектор може відрізнятися від щойно розглянутого, якщо 4-тензор був несиметричний по останніх двох індексах. Аналогічно маємо, що
є просторовим тензором другого рангу, а
- просторовим тензором третього рангу.
Треба зазначити, що можна виділяти тривимірні тензори як з коваріантних, так і з контраваріантних компонент 4-тензора. Результат ми одержимо різний. Чому це так, стане ясно після розгляду метрики простору-часу і деяких простих геометричних міркувань.
Розглянемо компоненти метричного тензора
. Згідно з попереднім пунктом, з цих 16-ти компонент можна виділити один тривимірний скаляр
, один тривимірний вектор
та один тривимірний симетричний тензор, який ми візьмемо зі знаком мінус:
. Тоді матриця метричного тензора простору-часу запишеться так:
![{\displaystyle (11)\qquad (g_{ij})={\begin{bmatrix}a&b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&-\gamma _{11}&-\gamma _{12}&-\gamma _{13}\\b_{2}&-\gamma _{21}&-\gamma _{22}&-\gamma _{23}\\b_{3}&-\gamma _{31}&-\gamma _{32}&-\gamma _{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8860ca9673038412a2131754923ac3d164256643)
Вияснимо фізичний зміст тривимірного тензора
. Для цього розглянемо тривимірний підпростір (в 4-вимірному просторі-часі) у фіксований момент часу
. Цей підпростір є деякою (в загальному випадку кривою) гіперповерхнею 4-вимірного простору. Квадрат відстані
між двома сусідніми точками цієї гіперповерхні (
) є додатня величина, що дорівнює взятому зі знаком мінус просторво-часовому інтервалу:
![{\displaystyle (12)\qquad dl^{2}=-ds^{2}=-\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}dx^{i}dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{3}\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdb5741076b95d2e7f7d2b738d845d84e409858)
Як видно з останньої формули,
є тривимірним метричним тензором.
Скаляр
очевидно задає масштаб часу (спільний для всіх систем координат, які пов'язані з цими перетвореннями (4)). Вектор
є мірою неортогональності вибраної осі часу щодо просторових координат. Це проявляється в тому, що обчислення координати швидкості світла дає різний результат в напрямку вектора
і в протилежному напрямку. А саме, розглянемо дві близькі точки простору-часу, які належать траєкторії світла. Просторово-часовий інтервал між цими точками дорівнює нулю:
![{\displaystyle (13)\qquad 0=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=a(dx^{0})^{2}+2\sum _{i=1}^{3}b_{i}dx^{0}dx^{i}-\sum _{i,j=1}^{3}\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d7c728ec5e1b1d86ccf2913e895e1bba7a5a79)
Позначимо компоненти швидкості світла
, і поділимо (13) на
. Останній доданок (13) дасть очевидно квадрат швидкості світла (згортка вектора з метричним тензором), а другий доданок - скалярний добуток швидкості світла на вектор
. Маємо:
![{\displaystyle (14)\qquad 0=ac^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c73a9eac3de8113f10024605d6f8cbf7c2683e5)
Зробивши заміну просторових координат, направимо вісь абсцис
вздовж вектора
і перейдемо до проєкції на цю вісь, яка може бути додатньою або від'ємною. Для знаходження проєкції
маємо квадратне рівняння:
![{\displaystyle (15)\qquad ac^{2}+2uv-v^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ca1b45906ff5cc47e612eead0dc0718424adc8)
звідки маємо два розвязки для руху світла в протилежних напрямках:
![{\displaystyle (16)\qquad v=u\pm {\sqrt {ac^{2}+u^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62460dd528629bd4d1f6a5e792f4b18cc92c53db)
Модулі цих величин різні, якщо
.
Цікаво також поглянути на викривлений фізичний простір-час, аналогічно до того, як це робиться в диференціальній геометрії, уявивши його вміщеним у гіпотетичний плоский псевдоевклідовий простір достатньо великої розмірності
. Радіус-вектор в цьому охоплюючому просторі позначимо
. Тоді фізичний простір-час задається параметрично:
![{\displaystyle (17)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4dd2889d42d3d279983cc6f04a7fb1b086b85a)
а тривимірний простір всередині 4-вимірного одержується поклавши в (17)
. Тобто маємо такий тривимірний многовид, залежний від трьох параметрів:
![{\displaystyle (18)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (x^{1},x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3d8d1f7d62a10f726916f07e5a41736b195276)
Координатні (N-вимірні!) вектори в обох випадках даються формулами:
![{\displaystyle (19)\qquad \mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial x^{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6eca09bc892abec3ca0906e956c4e37aab70b1)
ці величини, очевидно, збігаються при просторових значеннях індекса (
). Метричний тензор обчислюється через псевдоевклідовий скалярний добуток цих векторів:
![{\displaystyle (20)\qquad g_{ij}=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c2917f40d5c2484f86871c8d7cbcd918ee5717)
Образ контраваріантного 4-вектора
в охоплюючому псевдоевклідовому просторі дорівнює:
![{\displaystyle (21)\qquad \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {r} _{i}=a^{0}\mathbf {r} _{0}+a^{1}\mathbf {r} _{1}+a^{2}\mathbf {r} _{2}+a^{3}\mathbf {r} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea2a52f54c9e9623e06eac2a26e26e06e061bac)
Якщо в цьому векторі ми виділимо просторову частину
, то її образом буде інший вектор охоплюючого простору:
![{\displaystyle (22)\qquad {\tilde {\mathbf {a} }}=a^{1}\mathbf {r} _{1}+a^{2}\mathbf {r} _{2}+a^{3}\mathbf {r} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dc8fe3a3ffe6d586fe0244b5b7388a92286475)
який очевидно є (неортогональною) проєкцією вектора
на тривимірний підпростір
паралельно осі часу
.
Розглянемо тепер коваріантні компоненти
цього самого вектора
. Ці компоненти є коефіцієнтами при розкладанні вектора
по дуальному базису
:
![{\displaystyle (23)\qquad \mathbf {r} ^{i}=g^{ij}\mathbf {r} _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022ee66a37ffbe5f12b8d5ea39933e1827d7acf8)
![{\displaystyle (24)\qquad \mathbf {a} =a_{0}\mathbf {r} ^{0}+a_{1}\mathbf {r} ^{1}+a_{2}\mathbf {r} ^{2}+a_{3}\mathbf {r} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05610f3a395e000538f07e4f8c8b7d17c0e55ad)
Перший доданок у формулі (24) ортогональний до кожного з трьох векторів
, а тому відкиднувши його, ми здіснимо ортогональну проєкцію вектора
на тривимірну гіперповерхню.
Найпростіше обчислюються тривимірні символи Крістофеля
першого роду (з усіма нижніми індексами), оскільки згідно з формулою (11) просторові компоненти
чотиривимірного метричного тензора
дорівнюють зі знаком мінус компонентам тривимірного метричного тензора
:
![{\displaystyle (25)\qquad {\tilde {\Gamma }}_{ij,k}={1 \over 2}\left(\partial _{i}\gamma _{kj}+\partial _{j}\gamma _{ik}-\partial _{k}\gamma _{ij}\right)=-{1 \over 2}\left(\partial _{i}g_{kj}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)=-\Gamma _{ij,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d144d0a43bcb3fb5041fde52efaa9609e57bbccf)
Вже для символів Крістофеля другого роду:
![{\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{ij}^{s}=\sum _{k=1}^{3}\gamma ^{sk}{\tilde {\Gamma }}_{ij,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c415f820b0d1927ffea01450b0d729df45daa568)
співвідношення між тривимірними і чотиривимірними величинами виявляється набагато складнішим, оскільки обернена до (11) матриця має такий доволі складний вигляд:
![{\displaystyle (26)\qquad (g^{ij})={1 \over D}{\begin{bmatrix}1&b^{1}&b^{2}&b^{3}\\b^{1}&b^{1}b^{1}-D\gamma ^{11}&b^{1}b^{2}-D\gamma ^{12}&b^{1}b^{3}-D\gamma ^{13}\\b^{2}&b^{2}b^{1}-D\gamma ^{21}&b^{2}b^{2}-D\gamma ^{22}&b^{2}b^{3}-D\gamma ^{23}\\b^{3}&b^{3}b^{1}-D\gamma ^{31}&b^{3}b^{2}-D\gamma ^{32}&b^{3}b^{3}-D\gamma ^{33}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfe939774425ffa77c52ba3925bdc5b163db48c)
В цій формулі позначено:
- тривимірна матриця, обернена до
;
- контраваріантні компоненти тривимірного вектора
; і коефіцієнт
![{\displaystyle D=a+\mathbf {b} ^{2}=a+b^{1}b_{1}+b^{2}b_{2}+b^{3}b_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3970569543ee7460d479fbfa5af6f1471729026d)
Також, в загальному випадку, складні вирази одержуються між тензорами кривини і лапласіанами (операторами Лапласа — Бельтрамі). Але у випадку плоского простору Мінковського ми маємо просту формулу для лапласіанів. Лапласіан чотиривимірного простору, який називається оператором Даламбера і позначається квадратиком
, дорівнює:
![{\displaystyle (27)\qquad \Box ={\partial ^{2} \over \partial (x^{0})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{1})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{2})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{3})^{2}}={1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over dt^{2}}-\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac892dd3f5ddb843f18ad8d43b84833c6d28de7f)
де через дельту
позначено лапласіан тривимірного простору.
- ↑ Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування
- ↑ Формули на цій сторінці записані у системі
одиниць СГСГ.