Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У математиці, і особливо у теорії категорій ,
F
{\displaystyle F}
алгебраїчна структура , пов'язана з функтором
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
F
:
C
⟶
C
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}
називається об'єкт
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
α
:
F
A
⟶
A
{\displaystyle \alpha :FA\longrightarrow A}
Таким чином,
F
{\displaystyle F}
(
A
,
α
)
{\displaystyle (A,\alpha )}
Гомоморфізмом з
F
{\displaystyle F}
(
A
,
α
)
{\displaystyle (A,\alpha )}
F
{\displaystyle F}
(
B
,
β
)
{\displaystyle (B,\beta )}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
:
A
⟶
B
{\displaystyle f:A\longrightarrow B}
для якого виконується
f
∘
α
=
β
∘
F
f
{\displaystyle f\circ \alpha =\beta \circ Ff}
Для будь-якого заданого ендофунктора
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
Для прикладу, розглянемо ендофунктор
F
:
S
e
t
→
S
e
t
{\displaystyle F:Set\to Set}
X
{\displaystyle X}
1
+
X
{\displaystyle 1+X}
S
e
t
{\displaystyle Set}
1
{\displaystyle 1}
S
e
t
{\displaystyle Set}
множина ), а
+
{\displaystyle +}
диз'юнктне об'єднання ). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією
[
z
e
r
o
,
s
u
c
c
]
:
1
+
N
→
N
{\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
z
e
r
o
:
1
→
N
{\displaystyle \mathrm {zero} :1\to \mathbb {N} }
0 ) та
s
u
c
c
:
N
→
N
{\displaystyle \mathrm {succ} :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
n у n+1 ), є
F
{\displaystyle F}
![{\displaystyle [\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1ad1a055cf043adc3b61559ff7c22688f08264)
