Тотожність Вальда
У теорій ймовірностей, рівняння Вальда, тотожність Вальда[1] або лема Вальда[2] — це важлива тотожність, яка спрощує обчислення математичного сподівання суми випадкової кількості випадкових величин. У своїй найпростішій формі воно пов'язує очікування суми випадкової кількості скінченних середніх, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних, з очікуваною кількістю доданків у сумі і спільним математичним сподіванням випадкових змінних за умови, що кількість доданків незалежна від доданків.
Нехай (Xn)n∈ℕ буде послідовністю дійсно значимих, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних і нехай N буде невід'ємною цілочисельною змінною, яка незалежна від послідовності (Xn)n∈ℕ. Припустимо, що N і Xn мають скінченні математичні сподівання. Тоді
![{\displaystyle \operatorname {E} [X_{1}+\dots +X_{N}]=\operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X_{1}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd7b123071fc60545a047af4eb7483e7732e304)
Киньте шестигранну гральну кість. Візьміть число на кості (назвімо його N) і стільки разів киньте шестигранну кість, щоб отримати числа X1, . . . , XN, додайте їхні значення. Згідно з рівнянням Вальда, середнє вислідне значення становитиме
![{\displaystyle \operatorname {E} [N]\operatorname {E} [X]={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}\cdot {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}={\frac {441}{36}}=12.25\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13df8a7cfe6fd7b72d7170909705b27289c9dd7e)
- ↑ Janssen, Jacques; Manca, Raimondo (2006). Renewal Theory. Applied Semi-Markov Processes. Springer. с. 45–104. doi:10.1007/0-387-29548-8_2. ISBN 0-387-29547-X.
- ↑ Thomas Bruss, F.; Robertson, J. B. (1991). 'Wald's Lemma' for Sums of Order Statistics of i.i.d. Random Variables. Advances in Applied Probability. 23 (3): 612—623. doi:10.2307/1427625. JSTOR 1427625.
 | На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій. |